Langkah dalam pembuktian dengan induksi matematika yaitu langkah dasar dan langkah induktif. Dengan induksi matematika telah dibuktikan bahwa 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = ¼ n²(n + 1)².

Penjelasan dengan langkah-langkah

Metode pembuktian dengan induksi matematika

Pandang suatu pernyataan “Untuk sebarang bilangan asli n ≥ a, dengan a bilangan asli tertentu, sifat P(n) bernilai benar.”

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita akan menjalankan 2 langkah berikut.

• Langkah dasar, akan ditunjukkan bahwa P(a) bernilai benar.

• Langkah induktif, akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli k ≥ a, dengan a adalah bilangan asli tertentu. Jika P(k) bernilai benar, maka P(k+1) juga bernilai benar.

Penjelasan Soal:

Diketahui:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = ¼ (n²(n + 1)²)

Ditanya:

Pembuktian dengan induksi matematika

Jawab:

Langkah dasar

Akan ditunjukan bahwa P(1) bernilai benar.

Untuk n = 1, maka P(1) = ¼ 1²(1 + 1)²

                                    = ¼ · 4

                                    = 1

Jadi, P(1) bernilai benar.

Langkah induktif

Akan ditunjukan bahwa untuk sebarang bilangan asli n = k ≥ 1. Jika P(k) bernilai benar maka P(k+1) juga bernilai benar. Misalkan P(k) diasumsikan bernialai benar untuk sebarang bilangan aslin n = k ≥ 1, yaitu.

   P(k) = 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = ¼ k²(k + 1)²

Selanjutnya akan ditunjukan untuk n = k + 1 maka P(k + 1) juga bernilai benar.

P(k+1) = 1³ + 2³ + 3³ + ... + (k + 1)³ = ¼ (k + 1)²((k + 1) + 1)²

                                                      = ¼ (k + 1)²(k + 2)²

                                                      = ¼ (k⁴ + 6k³ + 13k² + 12k + 4)

Karena P(k) = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = ¼ k²(k + 1)² adalah pernyataan yang benar, maka dari ruas kiri P(k+1) diperoleh,

  1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ + (k + 1)³ = P(k) + (k + 1)³

                                                  = ¼ (k²(k + 1)²) + (k + 1)³

                                                  = ¼ (k⁴ + 2k³ + k²) + ¼ (4k³ + 12k² + 12k + 4)

                                                  = ¼ (k⁴ + 6k³ + 13k² + 12k +4)

Kedua ruas dari P(k + 1) sama, maka P(k + 1) bernilai benar. Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematis terbukti.

Pelajari lebih lanjut:

Pembuktian induksi matematika yomemimo.com/tugas/42479281

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ4