Diketahui f(x) = 3 + 2x , g(x) = 2

Berikut ini adalah pertanyaan dari zhaaeliza1050 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Diketahui f(x) = 3 + 2x , g(x) = 2 + x , dan h(x) = 2x. Bila ( f o g o h )^1 (x) = -1 maka nilai x adalah..... * A. 5 B. 3 C. 2 D. -3 E. -5

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai } \: x \: \text{ yang memenuhi } \: (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = -1 \: \text{ adalah } \: 3 \: \: (\bold{B}) \: \:. \\ \\$

PEMBAHASAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep invers dan komposisi fungsi.

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi oleh dua atau lebih fungsi yang bertujuan untuk membentuk satu fungsi baru.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: g \: \text{ pada fungsi } \: f \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \: \text{ artinya operasi fungsi } \: f \: \text{ pada fungsi } \: g \: \text{ dalam variabel } \: x \: . \\ \\$

Invers fungsi adalah balikan dari suatu fungsi. Dengan kata lain, invers fungsi adalah balikan dalam bentuk fungsi.

$\text{Misal } \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(y) \: \: . \\ \\ \boxed{(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)} \\ \\ \boxed{(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)} \\ \\$

DIKETAHUI :

$f(x) = 3+2x \: \:, \: \: g(x) = 2+x \: \:, \: \: h(x) = 2x \: \:, \: \text{ dan } \: (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = -1 \: \:. \\ \\$

DITANYA :

$\text{Nilai } \: x \: \:. \\ \\$

JAWAB :

$\text{Gunakan konsep } \: \: y = f(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = f^{-1}(y) \: \: . \\ \\$

$\begin{aligned} f(x) & \: = 3+2x \\ \\ y \: & = 3+2x \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 3+2x \: & = y \\ \\ 2x \: & = y-3 \\ \\ x \: & = \frac{y-3}{2} \\ \\ f^{-1}(y) \: & = \frac{y-3}{2} \\ \\ f^{-1}(x) \: & = \frac{x-3}{2} \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Gunakan konsep } \: \: m = g(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = g^{-1}(m) \: \: . \\ \\$

$\begin{aligned} g(x) & \: = 2+x \\ \\ m \: & = 2+x \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 2+x \: & = m \\ \\ x \: & = m-2 \\ \\ g^{-1}(m) \: & = m-2 \\ \\ g^{-1}(x) \: & = x-2 \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Gunakan konsep } \: \: n = h(x) \: \: \Rightarrow \: \: x = h^{-1}(n) \: \: . \\ \\$

$\begin{aligned} h(x) & \: = 2x \\ \\ n \: & = 2x \\ \\ \Leftrightarrow \: \: 2x \: & = n \\ \\ x \: & = \frac{n}{2} \\ \\ h^{-1}(n) \: & = \frac{n}{2} \\ \\ h^{-1}(x) \: & = \frac{x}{2} \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Gunakan konsep } \: \: (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} (f \circ g \circ h)^{-1}(x) & \: = -1 \\ \\ (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x) \: & = -1 \\ \\ (h^{-1} \circ g^{-1})\left(\frac{x-3}{2}\right) \: & = -1 \\ \\ h^{-1}\left( \frac{x-3}{2} - 2 \right) \: & = -1 \\ \\ h^{-1}\left( \frac{x-3-4}{2} \right) \: & = -1 \\ \\ h^{-1}\left( \frac{x-7}{2} \right) \: & = -1 \\ \\ \frac{ \frac{x-7}{2}}{2} \: & = -1 \\ \\ \frac{x-7}{4} \: & = -1 \\ \\ x-7 \: & = -4 \\ \\ x \: & = 7-4 \\ \\ x \: & = 3 \\ \\ \end{aligned}$