Jawab:

1. ∅ ⊆ ∅ (opsi C)
2. 5/18 (opsi B)
3. p < 0 (opsi A)

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Nomor 1

Yang perlu diingat adalah:

• Sebuah himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
• Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan kosong.
• Anggota himpunan merujuk pada setiap elemen/anggota dari sebuah himpunan, bukan himpunan bagian.

• Opsi A: {∅} ∈ ∅ ⇒ salah.
  Akan menjadi benar jika ∅ ∈ {∅}.
• Opsi B: {∅} ⊆ ∅ ⇒ salah.
  Akan menjadi benar apabila { } atau ∅ ⊆ ∅.
• Opsi C: ∅ ⊆ ∅ ⇒ BENAR.
  ∅ pada ruas kanan adalah sebuah himpunan, yaitu himpunan kosong. Sementara ∅ pada ruas kiri adalah himpunan bagian. Ingat bahwa himpunan kosong adalah himpunan bagian dari semua himpunan, dan sebuah himpunan adalah salah satu himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
• Opsi D: {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}} ⇒ salah.
  Akan menjadi benar apabila {a, b} ∈ {a, b, {a, b}}, atau {a, b} ⊆ {a, b, {{a, b}}}.
  Himpunan bagian dari {a, b, {{a, b}}} adalah ∅, {a}, {b}, {{{a, b}}}, {a, b}, {a, {{a, b}}}, {b, {{a, b}}}, dan {a, b, {{a, b}}}.
• Opsi E: {a, ∅} ⊆ {a, {a, ∅}} ⇒ salah.
  Akan menjadi benar apabila {a, ∅} ∈ {a, {a, ∅}}
  Anggota dari {a, {a, ∅}} adalah a dan {a, ∅}.
  Himpunan bagian dari {a, {a, ∅}} adalah ∅, {a}, {{a, ∅}}, dan {a, {a, ∅}}.

KESIMPULAN

∴  Pernyataan yang benar adalah ∅ ⊆ ∅ (opsi C).

________________________

Nomor 2

AE dan AF membagi persegi ABCD menjadi 3 bagian yang luasnya sama. Ketiga bagian tersebut adalah:

• segitiga siku-siku ADF
• segitiga siku-siku ABE
• layang-layang AECF

dengan ΔADF ≅ ΔABE.

Luas ΔADF = Luas ΔABE = Luas layang-layang AECF

Karena ΔADF ≅ ΔABE, kita gunakan salah satu saja.

Luas ΔABE = Luas layang-layang AECF

⇔ ½×AB×BE = ½×AC×EF

.... bagi kedua ruas dengan ½

⇔ AB×BE = AC×EF

.... panjang diagonal persegi adalah √2 kali panjang sisinya.

.... AC adalah salah satu diagonal persegi ABCD

⇔ AB×BE = AB√2×EF

.... bagi kedua ruas dengan AB

⇔ BE = EF√2

.... EC = FC dan EC ⊥ FC ⇒ EF = EC√2

⇔ BE = EC√2√2

⇔ BE = 2EC

Kita dapatkan perbandingan:

BE : EC = 2 : 1

Dengan kata lain:

BC = 3EC

⇔ EC = BC/3 = s/3

⇔ BE = (2/3)BC = (2/3)s

Luas ΔAEF dapat kita peroleh dengan mengurangkan luas ΔECF dari luas layang-layang AECF, atau dengan kata lain mengurangkan luas ΔECF dari luas ΔABE atau luas ΔADF.

Luas ΔAEF : Luas ABCD

= (Luas ΔABE – Luas ΔECF) : Luas ABCD

= ½(BE×s – EC²) : s²

= ½[ (2/3)s×s – ((1/3)s)² ] : s²

= ½[ (2/3)s² – (1/9)s² ] : s²

.... bagi semua nilai rasio dengan s²

= ½(2/3 – 1/9) : 1

.... kalikan semua nilai rasio dengan 2

= (2/3 – 1/9) : 2

= (6/9 – 1/9) : 2

= (5/9) : 2

.... kalikan semua nilai rasio dengan 9

= 5 : 18

KESIMPULAN

∴  Perbandingan luas ΔAEF dengan luas persegi ABCD adalah 5/18 (opsi B).

________________________

Nomor 3

p²x² – 4px + 1 = 0 memiliki akar-akar bernilai negatif.

Cara pertama

⇔ p²x² – 4px = –1

⇔ p²x² – 4px + 4 = –1 + 4

⇔ (px – 2)² = 3

⇔ px – 2 = ± √3

⇔ px = 2 ± √3

⇔ x = (2 ± √3)/p < 0

• Solusi pertama:
  (2 + √3)/p < 0
  .... bagi kedua ruas dengan (2 + √3)
  ⇔ 1/p < 0
  .... Jika 1/p < 0, maka p < 0.
  ⇔ p < 0

• Solusi kedua:
  (2 – √3)/p < 0
  .... bagi kedua ruas dengan (2 – √3)
  ⇔ 1/p < 0
  .... Jika 1/p < 0, maka p < 0.
  ⇔ p < 0

Cara kedua: dengan memeriksa jumlah akar-akarnya saja

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat p²x² – 4px + 1 = 0, maka:

x₁ + x₂ = –b/a = 4p/p² = 4/p

Karena x₁ dan x₂ bernilai negatif, maka jumlahnya juga negatif.

x₁ + x₂ < 0

⇔ 4/p < 0

.... bagi kedua ruas dengan 4

⇔ 1/p < 0

.... Jika 1/p < 0, maka p < 0.

⇔ p < 0

KESIMPULAN

∴  Nilai p adalah p < 0.