1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Hasilnya Berapa?[tex] \huge { \bold { \int{ | {2x}^{5}

Berikut ini adalah pertanyaan dari CattusCactus pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Hasilnya Berapa? \huge { \bold { \int{ | {2x}^{5} + 6x | - | {2x}^{5} - 6x| \: dx}}}
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\displaystyle\int{\left(\left|2x^5+6x\right|-\left|2x^5-6x\right|\right)dx}

\displaystyle\bf=\ \frac{x|x|\:\bigl[\:\left(x^4+9\right)\left|x^4-3\right|-x^8+12x^4-27\:\bigr]}{3\left|x^4-3\right|}+C

 

Pembahasan

Integral Tak Tentu Fungsi Nilai Mutlak

\begin{aligned}&\int{\left(\left|2x^5+6x\right|-\left|2x^5-6x\right|\right)dx}\\&=\underbrace{\int\left|2x^5+6x\right|dx}_{\begin{array}{c}F(x)\end{array}}\ -\ \underbrace{\int\left|2x^5-6x\right|dx}_{\begin{array}{c}G(x)\end{array}}\\&=F(x)\ -\ G(x)\end{aligned}

Karena yang diintegralkan adalah fungsi nilai mutlak, maka untuk F(x) berlaku:

\begin{aligned}F(x)&=\begin{cases}\displaystyle\int\left(2x^5+6x\right)dx\\\quad{\rm untuk}\ 2x^5+6x \ge 0\\\\\displaystyle\int-\left(2x^5+6x\right)dx\\\quad{\rm untuk}\ 2x^5+6x < 0\end{cases}\\\therefore\ F(x)&=\begin{cases}\displaystyle\int\left(2x^5+6x\right)dx\\\quad{\rm untuk}\ 2x^5+6x \ge 0\\\\-\displaystyle\int\left(2x^5+6x\right)dx\\\quad{\rm untuk}\ 2x^5+6x < 0\end{cases}\end{aligned}

Tanda positif dan negatif tergantung dari 2x^5+6x. Karena integral berbentuk tak tentu, untuk memperoleh tanda tersebut, kita gunakan \frac{f(x)}{\left|f(x)\right|}, sehingga:

\begin{aligned}F(x)&=\frac{2x^5+6x}{\left|2x^5+6x\right|}\int\left(2x^5+6x\right)dx\\\therefore\ F(x)&=\frac{2x^5+6x}{\left|2x^5+6x\right|}\left(\frac{1}{3}x^6+3x^2+C_1\right)\end{aligned}

Dengan cara yang sama, untuk G(x) kita peroleh:

\begin{aligned}G(x)&=\frac{2x^5-6x}{\left|2x^5-6x\right|}\int\left(2x^5-6x\right)dx\\\therefore\ G(x)&=\frac{2x^5-6x}{\left|2x^5-6x\right|}\left(\frac{1}{3}x^6-3x^2+C_2\right)\end{aligned}

 

Substitusi F(x)danG(x) ke dalam persamaan awal:

\begin{aligned}&\int{\left(\left|2x^5+6x\right|-\left|2x^5-6x\right|\right)dx}\\\\&{=\ }F(x)\ -\ G(x)\\\\&{=\ }\frac{2x^5+6x}{\left|2x^5+6x\right|}\left(\frac{1}{3}x^6+3x^2+C_1\right)\\&{\quad}-\ \frac{2x^5-6x}{\left|2x^5-6x\right|}\left(\frac{1}{3}x^6-3x^2+C_2\right)\end{aligned}

\begin{aligned}&...\ \textsf{keluarkan $C_1$ dan $C_2$ menjadi $C$}\\&{=\ }\frac{2x^5+6x}{\left|2x^5+6x\right|}\left(\frac{1}{3}x^6+3x^2\right)\\&{\quad}-\ \frac{2x^5-6x}{\left|2x^5-6x\right|}\left(\frac{1}{3}x^6-3x^2\right)+C\\\\&{=\ }\frac{\left(2x^5+6x\right)\left(x^6+9x^2\right)}{3\left|2x^5+6x\right|}\\&{\quad}-\ \frac{\left(2x^5-6x\right)\left(x^6-9x^2\right)}{3\left|2x^5-6x\right|}+C\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\frac{2x\left(x^4+3\right)\left(x^6+9x^2\right)}{3\cdot2|x|\left|x^4+3\right|}\\&{\quad}-\ \frac{2x\left(x^4-3\right)\left(x^6-9x^2\right)}{3\cdot2|x|\left|x^4-3\right|}+C\\\\&{=\ }\frac{x\left(x^4+3\right)\left(x^6+9x^2\right)}{3|x|\left|x^4+3\right|}\\&{\quad}-\ \frac{x\left(x^4-3\right)\left(x^6-9x^2\right)}{3|x|\left|x^4-3\right|}+C\end{aligned}

\begin{aligned}&...\ \textsf{kalikan pecahan dengan }\frac{|x|}{|x|}\\&{=\ }\frac{x|x|\left(x^4+3\right)\left(x^6+9x^2\right)}{3x^2\left|x^4+3\right|}\\&{\quad}-\ \frac{x|x|\left(x^4-3\right)\left(x^6-9x^2\right)}{3x^2\left|x^4-3\right|}+C\end{aligned}

\begin{aligned}&...\ \forall\,x\in\mathbb{R}: x^4+3=\left|x^4+3\right|\\&{=\ }\frac{x|x|\left(x^6+9x^2\right)}{3x^2}\\&{\quad}-\ \frac{x|x|\left(x^4-3\right)\left(x^6-9x^2\right)}{3x^2\left|x^4-3\right|}+C\\\\&{=\ }\frac{x|x|\left(x^4+9\right)}{3}\\&{\quad}-\ \frac{x|x|\left(x^4-3\right)\left(x^4-9\right)}{3\left|x^4-3\right|}+C\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\frac{x|x|\bigl[\:\left(x^4+9\right)\left|x^4-3\right|-\left(x^4-3\right)\left(x^4-9\right)\:\bigr]}{3\left|x^4-3\right|}+C\\\\&{=\ }\frac{x|x|\bigl[\:\left(x^4+9\right)\left|x^4-3\right|-\left(x^8-12x^4+27\right)\:\bigr]}{3\left|x^4-3\right|}+C\\\\&{=\ }\boxed{\bf\ \frac{x|x|\bigl[\:\left(x^4+9\right)\left|x^4-3\right|-x^8+12x^4-27\:\bigr]}{3\left|x^4-3\right|}+C\ }\\\\\end{aligned}

\blacksquare

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 03 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>