Diketahui barisan aritmatika dengan x_1 + x_3 + x_5 + ... + x_{2n-1} = 28. Jika u1 = 1, tentukan nilai u2 barisan tersebut!

Jawaban

Soal matematika ini merupakan materi dari barisan dan deret bilangan, yang merupakan urutan dari anggota-anggota himpunan bilangan yang membentuk pola berdasarkan kaidah-kaidah tertentu yaitu aritmatika dan geometri. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan atau suku dari pertama, kedua, dan seterusnya.

Pendahuluan

Barisan bilangan adalah himpunan atau anggota bilangan yang berurutan yang mempunyai pola di antara setiap himpunannya yang berdekatan. Anggota-anggota bilangan pada suatu barisan maupun deret bilangan disebut suku.  

Barisan bilangan dengan pola berupa nilai selisih atau beda disebut sebagai barisan aritmatika. Nilai selisih atau beda ini didapatkan dengan operasi pengurangan bilangan satu dengan bilangan sebelumnya, sehingga nilainya berupa operasi penjumlahan atau pengurangan.

Barisan bilangan dengan pola berupa nilai rasio atau ukur disebut sebagai barisan geometri. Nilai rasio atau ukur ini didapatkan dengan operasi pembagian bilangan satu dengan bilangan sebelumnya, sehingga nilainya berupa operasi perkalian atau pembagian.

Deret bilangan adalah himpunan bilangan yang berurutan yang mempunyai pola berupa nilai penjumlahan dari suatu himpunan barisan bilangan sebelumnya. Dengan kata lain, himpunan deret bilangan satu dan yang lainnya adalah penjumlahan dari bilangan deret sebelumnya.

Rumus-rumus barisan dan deret bilangan yang berlaku untuk pola aritmatika dan pola geometri adalah sebagai berikut.  Suku ke-nadalah bilangan yang berada pada urutan ke-n yang dapat dinotasikan denganUnuntuk barisan danSn untuk deret.  

Rumus barisan bilangan  arimatika

Un = a+(n-1)b

Rumus deret bilangan  aritmatika

Sn = n(a+Un)/2 = n(2a+(n-1)b)/2

Barisan pertama bilangan atau nilai awal dapat dinotasikan dengan variabel a, sedangkan nilai beda atau selisih barisan bilangan dapat dinotasikan dengan variabel b.  Variabel n pada barisan dan deret aritmatika menggunakan operasi perkalian.

Rumus barisan bilangan  geometri

Un = ar^{n-1}

Rumus deret bilangan  geometri

Sn = (ar^{n}-1)/(r-1)

Barisan pertama bilangan atau nilai awal dapat dinotasikan dengan variabel a, sedangkan nilai ukur atau rasio barisan bilangan dapat dinotasikan dengan variabel r.  Variabel n pada barisan dan deret geometri menggunakan operasi perpangkatan.

Deret geometri tak hingga adalah deret bilangan yang dihitung sampai ke barisan bilangan urutan tak hingga. Deret geometri tak hingga terbagi menjadi dua jenis, yaitu:

Divergen: Deret tak hingga yang memiliki rasio lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1 atau ditulis r > 1 atau r < -1, sehingga nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya.

Konvergen: Deret tak hingga yang memiliki rasio di antara lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1 atau ditulis -1 > 0 > 1, sehingga nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya.

Diketahui:

x_1 + x_3 + x_5 + ... + x_{2n-1} = 28

u1 = 1

Ditanya:

u2 = ?

Jawab:

Penjumlahan barisan bilangan urutan ganjil belum jelas, sehingga perlu diasumsikan hitungan sampai barisan ke-7 atau x_7.

x_1 + x_3 + x_5 + ... + x_{2n-1}  = 28

x_1 + x_3 + x_5 + x_7  = 28

a + a + 2b + a + 4b + a + 6b = 28

4a + 12b = 28 ...  (1)

Penjumlahan barisan bilangan urutan genap sampai barisan ke-8 atau x_8 dimisalkan senilai dengan variabel V.

x_2 + x_4 + x_6 + ... + x_{2}  = V

x_2 + x_4 + x_6 + x_8  = V

a + b + a + 3b + a + 5b + a + 7b = V

4a + 16b = V ... (2)

Penjumlahan barisan bilangan urutan ganjil dan genap hingga barisan ke-8 atau x_8 dapat disebut sebagai S8.

x_1 + x_3 + x_5 + x_7 + x_2 + x_4 + x_6 + x_8

S8 = 28 + V

Rumus untuk deret bilangan aritmatika

Sn = n[2a + (n-1)b] / 2

S8 = 8[2a + (8-1)b] / 2

S8 = 8a + 28b

28 + V = 8a + 28b

Substitusi nilai a = U1 = 1

28 + V = 8(1) + 28b

20 + V = 28b

b = (20 + V)/28 ... (3)

Selisih deret aritmatika urutan genap dan ganjil

V - 28 = 4a + 16b - (4a + 12b)

V - 28 = 4b

(V - 28)/4 = b

Substitusi b dengan persamaan 3

(V - 28)/4 = (20 + V)/28

7V - 196 = 20 + V

6V = 216

V = 36

Nilai b dengan persamaan 2

4a + 16b = V

4(1) + 16b = 36

16b = 32

b = 2

Nilai U2

U2 = a + b

U2 = 1 + 2

U2 = 3

Kesimpulan

Jika barisan aritmatika dengan x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 28, dan u1 = x_1 =  1, maka nilai u2 adalah 3 dengan nilai beda yaitu 2 dan urutan ganjil barisan sampai di barisan ke-7.

Pelajari lebih lanjut

-----------------------------

Detil Jawaban

Kelas : IX/9 (3 SMP)

Mapel : Matematika

Bab : Bab 2 - Barisan dan Deret Bilangan

Kode : 9.2.2

Kata Kunci: barisan, deret, deret aritmatika, urutan ganjil

===