Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)!

Pembahasan

Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel n dan berlaku untuk setiap n bilangan asli.

» Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah suatu rumus yang berlaku untuk bilangan asli n, maka

(i) P(n) harus benar untuk n = 1.

(ii) Jika diasumsikan P(n) benar untuk n = k dan dapat ditunjukkan benar untuk n = k + 1, maka P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

↓↓↓

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)!

(i) Untuk n = 1

U1 = n(n + 1)

2 = 1(1 + 1)

= 1 · 2

= 2 → (benar)

(ii) Diasumsikan benar untuk n = k, maka 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)

(iii) Dibuktikan benar untuk n = k+1

2+4+6+...+ 2k + 2(k+1) = (k+1)(k+2)

Bukti:

Ruas kiri= 2 + 4 + 6 +...+ 2k + 2(k+1)

= (2 + 4 + 6 +...+ 2k) + 2(k+1)

= k(k + 1) + 2(k + 1)

= (k + 1)(k + 2) → (terbukti)

= ruas kanan

Dari (i), (ii), dan (iii) terbukti benar bahwa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).

_______________________

Detail Jawaban

Mapel : Matematika

Kelas : XI

Materi : Bab 2 - Induksi Matematika

Kata Kunci : Induksi, Pembuktian

Kode Soal : 2

Kode Kategorisasi : 11.2.2