tolong bantu saya menjawab soal Ini

Berikut ini adalah pertanyaan dari benitochristian pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tolong bantu saya menjawab soal Ini

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\boxed{\boxed{( {g}^{ - 1} \circ {f}^{ - 1} )(x) = \frac{5x - 1}{x} \: \: , \: \: x \neq 0}} \\$

PEMBAHASAN

Fungsi invers adalah fungsi balikan atau balikan dalam bentuk fungsi.

$\text{Jika fungsi} \: \: y = f(x) \: \: \text{maka fungsi inversnya adalah} \: \: f^{- 1}(x) \\ \\ \boxed{(f \circ g)^{- 1}(x) = (g^{- 1} \circ f^{- 1})(x)} \\ \\$

Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi aljabar pada dua fungsi atau lebih sehingga menjadi satu fungsi baru.

$\boxed{(f \circ g \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x))} \\ \\ \boxed{(f \circ g)(x) = f(g(x))} \\ \\$

DIKETAHUI :

$f(x) = \frac{1}{x + 2} \: \: , \: \: x \neq - 2 \\ \\ g(x) = 3 - x \\ \\$

DITANYA :

$(g^{- 1} \circ f^{- 1})(x) \\ \\$

JAWAB :

$\text{Misal} \: \: y = f(x) \\ \\ f(x) = \frac{1}{x + 2} \: \: , \: \: x \neq - 2 \\ \\ y = \frac{1}{x + 2} \\ \\ xy + 2y = 1 \\ \\ xy = 1 - 2y \\ \\ x = \frac{1 - 2y}{y} \\ \\ {f}^{ - 1} (y) = \frac{1 - 2y}{y} \\ \\ \boxed{{f}^{ - 1} (x) = \frac{1 - 2x}{x}} \\ \\ g(x) = 3 - x \: \: \Rightarrow \: \boxed{{g}^{ - 1}(x) = 3 - x} \\ \\$

Cara ①. Fungsi komposisi dari fungsi invers

$\: \: \: \: \: (g^{- 1} \circ f^{- 1})(x) \\ \\ = g^{- 1} (f^{- 1}(x)) \\ \\ = g^{- 1} ( \frac{1 - 2x}{x} ) \\ \\ = 3 - ( \frac{1 - 2x}{x} ) \\ \\ = \frac{3x - (1 - 2x)}{x} \\ \\ = \frac{5x - 1}{x} \\ \\$

Cara ②. Fungsi Invers dari fungsi komposisi

$\: \: \: \: \: (f \circ g)(x) \\ \\ = f(3 - x) \\ \\ = \frac{1}{(3 - x) + 2} \\ \\ = \frac{1}{5 - x} \\ \\$

$\text{Misal} \: \: k = (f \circ g)(x) \: \Rightarrow \: \boxed{x = {(f \circ g)}^{ - 1} (k)} \\ \\$

$k = \frac{1}{5 - x} \\ \\ 5k - kx = 1 \\ \\ \Leftrightarrow \: kx = 5k - 1 \\ \\ x = \frac{5k - 1}{k} \\ \\ {(f \circ g)}^{ - 1} (k) = \frac{5k - 1}{k} \\ \\ {(f \circ g)}^{ - 1} (x) = \frac{5x - 1}{x} \\ \\ \boxed{( {g}^{ - 1} \circ {f}^{ - 1} )(x) = \frac{5x - 1}{x}} \\ \\$