1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

10. diketahui kubus abcd.efgh dengan panjang rusuk 6 cm. jarak

Berikut ini adalah pertanyaan dari helzi931 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

10. diketahui kubus abcd.efgh dengan panjang rusuk 6 cm. jarak hf dengan bg adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui kubus ABCD.EFGHdengan panjang rusuk6 cm.
Jarak HF dengan BG adalah 2√3 cm.
 

Pembahasan

Garis HFdanBG adalah dua garis bersilangan. Oleh karena itu, jarak HFkeBGadalah jarak dari dua bidang sejajarP_1danP_2, di mana HFterletak padaP_1, dan BGterletak padaP_2.

Dalam kubus ABCD.EFGH, bidang P_1diwakili oleh\triangle AFH. Sedangkan bidang P_2diwakili oleh\triangle BDG.

Jarak kedua bidang ini (seperti tampak pada gambar yang disertakan) adalah panjang ruas garis TU, atau PQ, atau RS, yang bernilai 1/3 kali panjang diagonal ruangkubusABCD.EFGH, yaitu 2√3 cm.

__________________

Atau, dengan memperhatikan segitiga siku-siku APU, dapat diperoleh:

\begin{aligned}\left|TU\right|&=\frac{\left|AU\right|\times\left|UP\right|}{\left|AP\right|}\\&=\frac{\frac{1}{2}\left|AC\right|\times r}{\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{\left|AC\right|}^2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}r\sqrt{2}\times r}{\sqrt{r^2+\frac{1}{2}r^2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}r^2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r}\\&=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{3}r\sqrt{3}\\&=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3}\end{aligned}
\large\text{$\begin{aligned}&\therefore\ \left|TU\right|=\boxed{\,\bf2\sqrt{3}\ cm\,}\end{aligned}$}

__________________

Atau, kita kerjakan dengan cara vektor.

Anggap 1 satuan pada sistem koordinat sama dengan 1 cm, dan titik A terletak pada pusat sistem koordinat.

Maka, B(6,0,0),  G(6,6,6), H(0,6,6), dan F(6,0,6).

\begin{aligned}\overrightarrow{BG}&=\vec{g}-\vec{b}=(0,6,6)\\\overrightarrow{HF}&=\vec{f}-\vec{h}=(6,-6,0)\\\end{aligned}

Misalkan \vec{u} adalah vektor normal kedua garis. Maka:

\begin{aligned}\vec{u}&=\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{HF}\\&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&6&6 \\ 6&-6&0 \end{vmatrix}\\&=36\vec{j}-36\vec{k}+36\vec{i}\\\vec{u}&=36\vec{i}+36\vec{j}-36\vec{k}\\\left|\vec{u}\right|&=\sqrt{36^2+36^2+(-36^2)}\\\left|\vec{u}\right|&=36\sqrt{3}\rm\ satuan\end{aligned}

Salah satu vektor yang menghubungkan HFdanBGadalah\overrightarrow{GH}=\vec{h}-\vec{g}=(-6,0,0).

Jarak HFkeBGadalahpanjang proyeksi \overrightarrow{GH}ke vektor normal\vec{u}, yaitu:

\begin{aligned}\sf Jarak&=\left|\frac{\overrightarrow{GH}\cdot\vec{u}}{\left|\vec{u}\right|}\right|\\&=\left|\frac{(-6,0,0)\cdot(36,36,-36)}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\left|\frac{-6\cdot36+0+0}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\left|\frac{-6\cdot36}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=\bf2\sqrt{3}\ satuan\end{aligned}

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \sf Jarak&=\boxed{\,\bf2\sqrt{3}\ cm\,}\\\end{aligned}$}

__________________

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, jarak HF dengan BG adalah 2√3 cm.

\blacksquare

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak HF dengan BG adalah 2√3 cm. PembahasanGaris [tex]HF[/tex] dan [tex]BG[/tex] adalah dua garis bersilangan. Oleh karena itu, jarak [tex]HF[/tex] ke [tex]BG[/tex] adalah jarak dari dua bidang sejajar [tex]P_1[/tex] dan [tex]P_2[/tex], di mana [tex]HF[/tex] terletak pada [tex]P_1[/tex], dan [tex]BG[/tex] terletak pada [tex]P_2[/tex]. Dalam kubus [tex]ABCD.EFGH[/tex], bidang [tex]P_1[/tex] diwakili oleh [tex]\triangle AFH[/tex]. Sedangkan bidang [tex]P_2[/tex] diwakili oleh [tex]\triangle BDG[/tex]. Jarak kedua bidang ini (seperti tampak pada gambar yang disertakan) adalah panjang ruas garis [tex]TU[/tex], atau [tex]PQ[/tex], atau [tex]RS[/tex], yang bernilai 1/3 kali panjang diagonal ruang kubus [tex]ABCD.EFGH[/tex], yaitu 2√3 cm.__________________Atau, dengan memperhatikan segitiga siku-siku [tex]APU[/tex], dapat diperoleh:[tex]\begin{aligned}\left|TU\right|&=\frac{\left|AU\right|\times\left|UP\right|}{\left|AP\right|}\\&=\frac{\frac{1}{2}\left|AC\right|\times r}{\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{\left|AC\right|}^2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}r\sqrt{2}\times r}{\sqrt{r^2+\frac{1}{2}r^2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}r^2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r}\\&=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{3}r\sqrt{3}\\&=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3}\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}&\therefore\ \left|TU\right|=\boxed{\,\bf2\sqrt{3}\ cm\,}\end{aligned}$}[/tex]__________________Atau, kita kerjakan dengan cara vektor.Anggap 1 satuan pada sistem koordinat sama dengan 1 cm, dan titik [tex]A[/tex] terletak pada pusat sistem koordinat.Maka, [tex]B(6,0,0)[/tex],  [tex]G(6,6,6)[/tex], [tex]H(0,6,6)[/tex], dan [tex]F(6,0,6)[/tex].[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{BG}&=\vec{g}-\vec{b}=(0,6,6)\\\overrightarrow{HF}&=\vec{f}-\vec{h}=(6,-6,0)\\\end{aligned}[/tex]Misalkan [tex]\vec{u}[/tex] adalah vektor normal kedua garis. Maka:[tex]\begin{aligned}\vec{u}&=\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{HF}\\&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&6&6 \\ 6&-6&0 \end{vmatrix}\\&=36\vec{j}-36\vec{k}+36\vec{i}\\\vec{u}&=36\vec{i}+36\vec{j}-36\vec{k}\\\left|\vec{u}\right|&=\sqrt{36^2+36^2+(-36^2)}\\\left|\vec{u}\right|&=36\sqrt{3}\rm\ satuan\end{aligned}[/tex]Salah satu vektor yang menghubungkan [tex]HF[/tex] dan [tex]BG[/tex] adalah [tex]\overrightarrow{GH}=\vec{h}-\vec{g}=(-6,0,0)[/tex].Jarak [tex]HF[/tex] ke [tex]BG[/tex] adalah panjang proyeksi [tex]\overrightarrow{GH}[/tex] ke vektor normal [tex]\vec{u}[/tex], yaitu:[tex]\begin{aligned}\sf Jarak&=\left|\frac{\overrightarrow{GH}\cdot\vec{u}}{\left|\vec{u}\right|}\right|\\&=\left|\frac{(-6,0,0)\cdot(36,36,-36)}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\left|\frac{-6\cdot36+0+0}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\left|\frac{-6\cdot36}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=\bf2\sqrt{3}\ satuan\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \sf Jarak&=\boxed{\,\bf2\sqrt{3}\ cm\,}\\\end{aligned}$}[/tex]__________________KESIMPULAN∴  Dengan demikian, jarak HF dengan BG adalah 2√3 cm.[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 28 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>