Diketahui persamaan [tex]x^{2} - 2x - 8 = 0[/tex] dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari 3Triangle pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Diketahui persamaan $x^{2} - 2x - 8 = 0$ dan $x^{2} + 5x + k = 0$ memiliki sebuah akar yang
sama. Jumlah kuadrat dari semua kemungkinan nilai k adalah....
A. 1332 C. 1480
B. 1418 D. 1530

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jumlah kuadrat dari semua kemungkinan nilai k adalah 1.332. Jawaban pada opsi A.

PEMBAHASAN

Faktorisasi

Pemfaktoran yaitu mengubah bentuk aljabar dari penjumlahan menjadi bentuk perkalian faktor-faktor.

→Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah bilangan bulat, maka bisa langsung difaktorkan dengan mengubah ax²+bx+c=0 menjadi ax²+mx+nx+c=0, lalu mengubahnya ke bentuk perkalian menjadi (px+r)(qx+s)=0. Namun, dengan ketentuan a×c = m×n dan m+n = b.

Rumus Kuadratis (Rumus ABC)

$\boxed{\begin{array}{lll}\bf{x_{1,2}}&\bf{=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}\\&\bf{=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\end{array}}~~~\rm{D=diskriminan}$

Diketahui :

Persamaan 1 : x²-2x-8=0

Persamaan 2 : x²+5x+k=0

Kedua persamaan tersebut memiliki sebuah akar yang sama.

Ditanya : Kuadrat dari semua kemungkinan nilai k?

Jawaban :

Mencari akar-akar dari persamaan 1

Untuk mencari akar-akar pada persamaan 1 bisa menggunakan rumus kuadratis (rumus ABC) atau menggunakan pemfaktoran, tetapi lebih cepat menggunakan pemfaktoran.

x²-2x-8=0

Pada persamaan tersebut, a=1 ; b=-2 ; c=-8

Kita cari 2 angka, yaitu m dan n dimana m+n = b dan m×n=a×c.

Ternyata 2 angka itu adalah 2 dan -4.

$\begin{aligned}x^2-2x-8&=0\\x^2+2x-4x-8&=0\\x(x+2)-4(x+2)&=0\\(x+2)(x-4)&=0\\x+2=0&\bigvee x-4=0\\x=-2&\bigvee x=4\end{aligned}$

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah -2 dan 4.

Mencari kemungkinan nilai k

Persamaan ke-2 salah satu akarnya sama dengan persamaan pertama, bukan kedua akarnya. Jadi, kemungkinan salah satu akarnya adalah -2 atau 4 sehingga kemungkinan nilai m adalah 2 atau -4 sama seperti persamaan 1.

Lalu kita menggunakan pemfaktoran dengan mencari nilai n dimana m+n=b dan m×n=a×c

x²+5x+k=0

Pada persamaan tersebut diketahui bahwa a=1 ; b=5 ; c=k

→Mencari nilai n jika m = 2

$\begin{aligned}m+n&=b\\2+n&=5\\n&=5-2\\n&=3\end{aligned}$