tentukan 2 angka terakhir dari[tex] {21}^{2014} [/tex]tolong dibantu ya kak​

Berikut ini adalah pertanyaan dari adindanuragin9 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tentukan 2 angka terakhir dari

 {21}^{2014}
tolong dibantu ya kak​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

2 angka terakhir dari 21^{2014}adalah81.

Pembahasan

Teori Bilangan

Permasalahan: menentukan 2 angka terakhir dari 21^{2014}

Cara pertama

\begin{aligned}21^{2014}&=\underbrace{21\times21\times{\dots}\times21}_{\begin{array}{c}2014\sf\ kali\end{array}}\end{aligned}

2 angka terakhir adalah angka puluhan dan satuan.

Angka satuan = 1 karena \bf1^n = 1.

Untuk angka puluhan, berbeda caranya.

Sebagai ilustrasi:

  • 21² = 21 × 21 = 21 + 420
    ⇒ angka puluhan = 4
  • 21³ = 441 × 21 = 441 + 8820
    ⇒ angka puluhan = 6
  • 21⁴ = 9261 × 21 = 9261 + 185220
    ⇒ angka puluhan = 8

Jadi, polanya adalah pola barisan aritmetika bilangan genap, yaitu 2, 4, 6, 8, 0, lalu kembali lagi ke pola pertama. ⇒ 5 pola berulang

Karena 2014 adalah 1 kurangnya dari 5, maka pola ke-2014 adalah pola ke-4, yaitu 8, dan ini adalah angka puluhan yang kita cari.

∴  Jadi, 2 angka terakhir dari  \bf21^{2014}  adalah 81.

Cara kedua: aritmetika modular

2 angka terakhir dari sebuah bilangan adalah sisa pembagian bilangan tersebut oleh 100.

Maka, 2 angka terakhir dari 21^{2014}adalah nilai dari21^{2014}\!\mod100.
(Harap bersabar untuk cara ini. Ada yang lebih singkat, namun saya menggunakan cara paling dasar dalam aritmetika modular.)

\begin{aligned}&21^{2014}\ (\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(21^2\right)^{1007}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&4\underline{41}^{1007}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{1007}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{1006}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(41^2\right)^{503}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&16\underline{81}^{503}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81^{503}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81^{502}\times81\times41&(\!\!\!\!\mod100)\end{aligned}
\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(81^2\right)^{251}\times33\underline{21}\:\:&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&65\underline{61}^{251}\times21&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{251}\times21&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{250}\times61\times21&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(61^2\right)^{125}\times12\underline{81}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&37\underline{21}^{125}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&21^{125}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\\end{aligned}
\begin{aligned}{\equiv\ }&21^{124}\times21\times81\ \ &(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(21^2\right)^{62}\times17\underline{01}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&4\underline{41}^{62}\times1&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{62}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(41^2\right)^{30}\times41^2&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&16\underline{81}^{30}\times16\underline{81}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81^{30}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\end{aligned}
\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(81^2\right)^{15}\times81\ \ \ \ \ &(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&65\underline{61}^{15}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{15}\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&61^{14}\times61\times81&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\left(61^2\right)^{7}\times49\underline{41}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&37\underline{21}^{7}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&21^{7}\times41&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&21^{6}\times21\times41&(\!\!\!\!\mod100)\end{aligned}
\begin{aligned}{\equiv\ }&\left(21^2\right)^{3}\times8\underline{61}\quad\ \,&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&4\underline{41}^{3}\times61&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{3}\times61&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&41^{2}\times41\times61&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&16\underline{81}\times25\underline{01}&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&81\times1&(\!\!\!\!\mod100)\\{\equiv\ }&\boxed{\ \bf81\ }&(\!\!\!\!\mod100)\\\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  2 angka terakhir dari  \bf21^{2014}  adalah 81.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh eileengracia08 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 03 Aug 22