Berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang jumlah

Berikut ini adalah pertanyaan dari RezaTiwi185 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang jumlah digit-digitnya adalah 12 ? (bilangan tersebut termasuk 39, 255)713.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Banyak bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang jumlah digit-digitnya adalah 12 adalah 73 bilangan.
 

Pembahasan

Permasalahan

Berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang jumlah digit-digitnya adalah 12?

PENYELESAIAN

Pada rentang puluhan, bilangan yang memenuhi adalah 39, 48, 57, 66, 75, 84, dan 93.

⇒ terdapat 7 bilangan puluhan yang memenuhi

Pada rentang ratusan, dari 100 hingga 999, untuk setiap rentang ratusan (100-199, 200-299, dst.), pada dasarnya terdapat (12 – angka ratusan + 1) bilangan, kecuali untuk rentang 100-199 dan 200-299.

Jadi, untuk rentang 300-999, banyak bilangan yang memenuhi adalah:
(12–3+1) + (12–4+1) + (12–5+1) + (12–6+1) + (12–7+1) + (12–8+1) + (12–9+1)
= (12–2) + (12–3) + (12–4) + (12–5) + (12–6) + (12–7) + (12–8)
= 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4
= 19 + 15 + 15
= 49 bilangan

Untuk rentang 100-199, pada rentang 100-119, tidak ada bilangan yang memenuhi karena 12 – (1+0) = 11 > 9 dan 12 – (1+1) = 10 > 9, padahal angka satuan terbesar adalah 9. Oleh karena itu, bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi pada rentang 100-199 adalah 129. Dilanjutkan dengan 138, 147, 156, dst. Beda/selisih antar bilangan adalah 9, sehingga:

$\begin{aligned}n_{(100-199)}&=\left \lfloor \frac{\text{199}-129}{9} \right \rfloor+1\\&=\left \lfloor \frac{70}{9} \right \rfloor+1=\left \lfloor \frac{63+7}{9} \right \rfloor+1\\&=\left \lfloor 7+\frac{7}{9} \right \rfloor+1\\&=7+1\\&=\bf8\ bilangan\end{aligned}$

⇒ terdapat 8 bilangan pada rentang rentang 100-199 yang memenuhi

Untuk rentang 200-299, pada rentang 200-209, tidak ada bilangan yang memenuhi karena 12 – (2+0) = 10 > 9, padahal angka satuan terbesar adalah 9. Oleh karena itu, bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi pada rentang 200-299 adalah 219. Dilanjutkan dengan 228, 237, 246, dst. Beda/selisih antar bilangan selalu sama, yaitu 9, sehingga:

$\begin{aligned}n_{(200-299)}&=\left \lfloor \frac{\text{299}-219}{9} \right \rfloor+1\\&=\left \lfloor \frac{80}{9} \right \rfloor+1=\left \lfloor \frac{72+8}{9} \right \rfloor+1\\&=\left \lfloor 8+\frac{8}{9} \right \rfloor+1\\&=8+1\\&=\bf9\ bilangan\end{aligned}$

Dengan demikian, banyak bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang jumlah digit-digitnya adalah 12 adalah:
7 + 49 + 8 + 9
= 56 + 17
= 73 bilangan.

Bilangan bilangan tersebut adalah: