Anang dan Miftah bermain koin dengan peluang angka atau gambar

Berikut ini adalah pertanyaan dari 3Triangle pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Anang dan Miftah bermain koin dengan peluang angka atau gambar yang tidakimbang. Suatu lemparan koin hanya dapat menghasilkan angka atau gambar, tetapi tidak keduanya sekaligus. Anang melempar koin duluan, kemudian dilanjutkan dengan Miftah. Anang akan menang jika Anang mendapatkan angka pada gilirannya, sedangkan Miftah akan menang jika Miftah mendapatkan gambar pada gilirannya. Ternyata peluang Anang atau Miftah menang adalah sama. Peluang munculnya angka jika koin tidak imbang pada permainan tersebut dilempar adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Peluang munculnya angka jika koin tidak imbang pada permainan tersebut dilempar adalah $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

PEMBAHASAN:

Peluang (P) adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang bersifat teoritis. Peluang tidak mungkin lebih kecil dari 0, dan tidak mungkin lebih besar dari 1. Jika suatu peristiwa memiliki $n$ kemungkinan kejadian, maka $P_1 + P_2 + ... + P_n = 1$ .

DIKETAHUI:

Anang dan Miftah bermain lempar koin tidak seimbang, yang hasil lemparannya dapat menghasilkan tepat salah satu dari gambar atau angka.

Anang melempar koin duluan, dan dilanjutkan oleh Miftah.

Anang akan menang apabila Anang mendapat sisi angka. Miftah akan menang apabila Anang kalah dan Miftah mendapat sisi gambar.

Peluang kemenangan Anang dan Miftah sama besar.

DITANYA:

Peluang munculnya sisi angka jika koin tidak imbang pada permainan tersebut dilempar adalah...

PENYELESAIAN:

Misalkan $P_{angka} = n$ .

Kejadian yang mungkin terjadi hanyalah kemunculan angka atau gambar.

$P_{angka} + P_{gambar} = 1$

$P_{gambar} = 1 - n$

Peluang Anang menang pada lemparan ke-1:

$P_{angka} = n$

Peluang Miftah menang pada lemparan ke-2:

$(P_{gambar})(P_{gambar}) = (1 - n)(1 - n)$

Peluang Anang menang pada lemparan ke-3:

$(P_{gambar})(P_{angka})(P_{angka}) = (1 - n)(n)(n)$

Peluang Miftah menang pada lemparan ke-4:

$(P_{gambar})(P_{angka})(P_{gambar})(P_{gambar}) = (1 - n)(n)(1 - n)(1 - n)$

Peluang Anang menang pada lemparan ke-5:

$(P_{gambar})(P_{angka})(P_{gambar})(P_{angka})(P_{angka}) = (1 - n)(n)(1 - n)(n)(n)$

Peluang Miftah menang pada lemparan ke-6:

$(P_{gambar})(P_{angka})(P_{gambar})(P_{angka})(P_{gambar})(P_{gambar}) = (1 - n)(n)(1 - n)(n)(1 - n)(1 - n)$

Dan seterusnya.

Peluang Anang menang:

$n + (1 - n)(n)(n) + (1 - n)(n)(1 - n)(n)(n) + ...$

Akan terbentuk deret geometri tak hingga dengan $a = n$ dan $r = (1 - n)(n)$ .

Karena $(1 - n)$ dan $n$ berada di interval $0 < n < 1$ , maka $r = (1 - n)(n)$ juga berada di interval $0 < n < 1$ . Kta dapat menghitung jumlah deretnya dengan menggunakan rumus $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ .