Rumusdari2+4+6+8+10+...adalahSₙ = n(n+1), dengan n menyatakan banyak suku (banyak bilangan bulat genap) pada deret bilangan genap tersebut.
 

Pembahasan

Induksi Matematika

Diberikan deret bilangan genap 2+4+6+8+10+... .

Misalkan terdapat n bilangan genap pada deret tersebut (n suku), maka suku terakhir, atau suku ke-n, bernilai 2n.
Jadi, deret tersebut bisa ditulis juga dengan 2+4+6+7+8+10+...+2n.

Kita jumlahkan berpasangan ujung kiri ke ujung kanan, dari kiri maju ke kanan, dan dari kanan mundur ke kiri, jumlahnya pasti sama.

Contohnya, untuk 6 suku atau n=6.

2+4+6+8+10+12 = 42

• 2+12 = 14
• 4+10 = 14
• 6+8 = 14

⇒ Jumlahnya: 14+14+14 = 42

Jika dihitung berurutan:
2+4+6+8+10+12
= 6+6+8+10+12
= 12+8+10+12
= 20+10+12
= 30+12
= 42
⇒ Hasilnya sama saja.

Sekarang, kita perhatikan deret 2+4+6+7+8+10+...+2n.

Suku sebelum suku terakhir adalah 2(n–1). Sebelumnya, 2(n–2). Dst.

Maka, 2 + 2n = 4 + 2(n–1) = 6 + 2(n–2) = dst.

Anggap saja banyak suku atau n adalah genap, sehingga 2 suku di tengah-tengah deret adalah suku ke-(½n)dansuku ke-(½n + 1). Penjumlahan antara 2 suku ujung ke ujung tersebut akan terjadi hingga ½n kali.

Oleh karena itu, jumlah deret bilangan genap tersebut adalah:

Sₙ = ½n(suku pertama + suku ke-n)
⇒ Sₙ = ½n(2+2n)
⇒ Sₙ = n·½(2+2n)
⇒ Sₙ = n(1+n)
⇒ Sₙ = n(n+1)

Jadi, jumlah deret 2+4+6+8+10+.... dapat dinyatakan dengan rumus:

Kita buktikan dengan n=1 dan contoh di atas.

• Dengan n=1, maka hanya ada 1 suku, yaitu 2 ⇒ S = 2.
  Kita hitung dengan rumus.
  ⇒ S = 1(1+1) = 1×2 = 2  ⇒ benar
• Untuk contoh di atas:
  2+4+6+8+10+12 ⇒ 6 suku ⇒ n=6
  ⇒ S = 6(6+1) = 6×7 = 42 ⇒ benar

______________

Jika ingin membuktikan untuk semua n bilangan asli, kita gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Persamaan yang ingin dibuktikan adalah:
2+4+6+8+...+2n = n(n+1)

• Basis induksi:
  Untuk n=1, benar bahwa 1(1+1) = 2.
• Asumsi/hipotesis:
  Andaikan benar untuk n=k, yaitu 2+4+6+8+...+2k = k(k+1), maka harus dibuktikan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk n=k+1, yaitu:
  2+4+6+8+...+2k+2(k+1) = (k+1)(k+2).
• Langkah induksi:
  2+4+6+8+...+2k+2(k+1)
  = (2+4+6+8+...+2k) + 2(k+1)
  = k(k+1) + 2(k+1)
     → faktorkan terhadap (k+1), atau berdasarkan sifat distributif penjumlahan
  = (k+1)(k+2)
  ⇒ terbukti

Karena basis induksi terbukti, dan dengan asumsi/hipotesis yang diambil, langkah induksi juga telah terbukti benar, maka dapat disimpulkan bahwa:
2+4+6+8+...+2n = n(n+1) berlaku untuk n bilangan asli.

KESIMPULAN

∴  Rumus dari 2+4+6+8+10+.... adalah Sₙ = n(n+1), dengan n menyatakan banyak suku atau banyak bilangan bulat genap yang dijumlahkan.