QUIZ #11Diketahui persamaan x⁶ -x⁴ -x² -2 = 01. Faktorkan

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QUIZ #11Diketahui persamaan x⁶ -x⁴ -x² -2 = 0

1. Faktorkan persamaan tsb!
2. Cari akar akar real dan akar akar imajinernya

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1. Faktor dari $x^6-x^4-x^2-2=0$ adalah $\boldsymbol{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0}$ .

2. Akar real da imajiner dari $x^6-x^4-x^2-2=0$ adalah $\boldsymbol{x=-\sqrt{2},~x=\sqrt{2},~x=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},~x=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},~x=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},~dan~x=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}}$

PEMBAHASAN

Polinom atau suku banyak merupakan suatu sistem persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya lebih besar dari 2. Bentuk umum suku banyak adalah

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$

Kemungkinan akar - akar dari suku banyak f(x) adalah faktor dari koefisien a₀ dibagi faktor dari koefisien $a_n$ (bilangan bulat).

DIKETAHUI

$x^6-x^4-x^2-2=0$

DITANYA

Tentukan :

1. Faktor persamaan tersebut.

2. Akar akar real dan imajiner.

PENYELESAIAN

a. Mencari faktor suku banyak.

Misal $u=x^2$ , maka :

$x^6-x^4-x^2-2=0$

$u^3-u^2-u-2=0$

Faktor-faktor dari koefisien u³ adalah ± 1.

Faktor-faktor dari konstanta adalah ± 1, ± 2.

Maka kemungkinan faktor-faktornya adalah :

$\frac{a_o}{a_n}=\frac{\pm1}{\pm1}=\pm1,~atau~$

$\frac{a_o}{a_n}=\frac{\pm2}{\pm1}=\pm2$ .

Trial and error dengan x = 2 (gunakan metode horner).

$2~~|~1~-1~-1~-2$

$.~~|~~~~~~~~2~~~~2~~~~~2$

$.~~~--------~~+$

$.~~~~1~~~~~1~~~~~1~~~~0$

Karena sisanya = 0 maka (u-2) merupakan faktor dari $u^3-u^2-u-2=0$ .

$u^3-u^2-u-2=0$

$(u-2)(u^2+u+1)=0~~~~~~...substitusi~kembali~u=x^2$

$(x^2-2)(x^4+x^2+1)=0$

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^4+2x^2-x^2+1)=0$

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})[(x^4+2x^2+1)-x^2]=0$

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})[(x^2+1)^2-x^2]=0$

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+1+x)(x^2+1-x)=0$

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$

b. Mencari akar akar suku banyak.

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$

Kita peroleh :

$x+\sqrt{2}=0$

$x=-\sqrt{2}$

$x-\sqrt{2}=0$

$x=\sqrt{2}$

$x^2+x+1=0~\to~gunakan~rumus~ABC$

$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4(1)(1)}}{2(1)}$

$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}$

$x_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

$x_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

$x_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

$x^2-x+1=0~\to~gunakan~rumus~ABC$

$x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(1)}}{2(1)}$

$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$

$x_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

$x_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$

$x_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$

Kita peroleh akar akar dari suku banyak tersebut adalah $x=-\sqrt{2},~x=\sqrt{2},~x=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},~x=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},~x=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},~dan~x=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ .

KESIMPULAN

1. Faktor dari $x^6-x^4-x^2-2=0$ adalah $\boldsymbol{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0}$ .

2. Akar real da imajiner dari $x^6-x^4-x^2-2=0$ adalah $\boldsymbol{x=-\sqrt{2},~x=\sqrt{2},~x=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},~x=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},~x=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},~dan~x=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}}$

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari akar akar suku banyak : yomemimo.com/tugas/38409877
Teorema sisa : yomemimo.com/tugas/38841674
Teorema vietta : yomemimo.com/tugas/29401117

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Suku Banyak

Kode Kategorisasi: 11.2.11

Kata Kunci : suku, banyak, polinom, faktor, metode, horner.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 18 Aug 21

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah