1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QUIZ - [17.5]konstanta matematika paling terkenal, π dan eKita tahu

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QUIZ - [17.5]konstanta matematika paling terkenal, π dan e

Kita tahu banyak konstanta matematika yang sangat penting, semisal π (pi) yang tercipta secara geometris dimana Pi adalah nilai rasio dari keliling lingkaran dengan diameternya

Ada lagi konstanta √2 dimana itu tercipta secara geometris, dimana ada segitiga siku siku sama kaki yg sisi terkecilnya 1 satuan, maka sisi miring √2 satuan.

dan ada banyak lagi konstanta matematika seperti \phi (phi/rasio emas) dan rata rata tercipta secara geometris.

Namun ada lagi bilangan namanya "e" atau biasa dibilang euler, dimana konstanta itu berperan sebagai basis logaritma natural,

Namun darimana asal usul bilangan "e"? kenapa bilangan itu dijadikan basis logaritma natural? dan apakah benar ada hubungannya dengan \displaystyle \lim_{h \to 0} \begin{pmatrix} 1 + \frac{h}{x} \end{pmatrix} ^{ \frac{x}{h} } ?​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Bilangan e/euler sebenarnya tidak ditemukan oleh Leonhart Euler. Tapi oleh seseorang bernama Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Konstanta ini ditemukan ketika ia mempelajari tentang Bunga Majemuk (compound interest).

Awal cerita nya seperti berikut:

Sebuah rekening bank memiliki simpanan awal sebesar $1 dan bank ideal (tidak ada bank seperti ini di dunia nyata haha) dimana orang tersebut menabung memberikan bunga 100% per tahun, apa yang terjadi bila bank tersebut memberikan bunga lebih sering ? (misalnya per semester, per minggu, atau mungkin per hari).

jumlah rekening bank pada akhir tahun :

M_n = \$1 \cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} \to n = \text{frekuensi penambahan jumlah rekening }\\\text{karena bunga per tahunnya}

secara teoritis, nilai M_n akan mendekati $2.718 ketika n bernilai besar (makin sering ditambah rekeningnya). Ketika n = 365 (pembungaan per hari) nilai M_n sudah cukup mendekati bilangan e (M_n = $2.714)

\displaystyle \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} \$1 \cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} = \$e

untuk limit :

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}

hasil nya tetap lah bilangan e, dan fungsi di dalam limit (tanpa 1/h di bagian pangkatnya)  adalah rumus asli bunga majemuk apabila bunganya tidak selalu 100% (b = h ≠ 1) untuk jangka waktu 1 tahun saja.

e dijadikan basis logaritma natural karena sifat unik turunannya yang merupakan dirinya sendiri, hal ini menjadikan turunan untuk fungsi pangkat mungkin dilakukan.

Limit yang pertama tadi (untuk M_n) adalah basis utama yang menjadi jalan pembuka untuk menentukan turunan fungsi pangkat.

turunan e^x :

f(x) = e^x\\\\f'(x) = \displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{e^{x+h} - e^x}{h}\\\\f'(x) = e^x \lim_{h\to 0} \dfrac{e^{h} - 1}{h} \to \text{limit ini sama nilainya dengan $1/\ln(e)$ }\\\text{dengan menggunakan logaritma natural dan limit $M_n$ tadi}\\\\

L =\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{e^h - 1}{h}\\t = e^h - 1 \to h = \ln(t+1)\\L =\displaystyle \lim_{t\to 0} \dfrac{t}{\ln(t+1)}\\L =\displaystyle \lim_{t\to 0} \dfrac{1}{\dfrac{1}{t}\ln(t+1)}\\L =\displaystyle \lim_{t\to 0} \dfrac{1}{\ln((t+1)^{\dfrac{1}{t}})}\\

tinggal ganti aja t = 1/n maka ketemu limit M_n di dalam logaritma

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 24 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>