Lihat gambar di atas!Terdapat tak hingga lingkaran hijau di gambar

Berikut ini adalah pertanyaan dari ariamuhammad587 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Lihat gambar di atas!Terdapat tak hingga lingkaran hijau di gambar ini. Jika jari-jari seperempat lingkaran sama dengan 1, berapakah luas hijau?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban

Jadi, luas arsir hijau adalah

$\bf L = \pi (17 -12 \sqrt{2} +\frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} ) \approx 0.1325$

Pendahuluan

Geometri adalah cabang matematika yang mempelajari bangun ruang, bangun datar, dan lain lain yang bersangkutan dengan bentuk, ukuran, dan posisi.

dalam geometri, ilmu phytagoras, Kekongruenan, kesebangunan, bahkan integral, semua itu pasti akan terpakai.

Diketahui

Sebuah persegi yang di dalamnya ada ¼ bagian kanan atas lingkaran, terdapat lingkaran yang menyinggung kedua sisi kanan dan atas persegi sekaligus lingkaran yang menyinggung ¼ lingkaran, lalu di kirinya ada lagi lingkaran yang menuinggung lingkaran sebelumnya, sisi atas persegi, dan ¼ lingkaran, dst,

Ditanya

berapakah luas lingkaran-lingkaran tsb?

Penyelesaian

misalkan urutan jari jari lingkaran terbesar sampai terkecil adalah :

$\sf r, \: r_1, \: r_2, \: r_3, \: r_4, \: .....$

maka dari gambar, didapat :

r + 2r₁ + a = diagonal persegi

1 + 2r₁ + a = √2

2r₁ + a = √2 -1

r₁ + a = r₁√2

___________-

r₁ = √2 -r₁√2 -1

r₁ (√2 + 1) = √2 -1 $\: \to \sf \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{\sqrt{2} -1}{ ( \sqrt{2})^2 -(1)^2} = \sqrt{2} - 1$

r₁ = (√2 -1)²

Dari sini, kita bisa menggunakan teorema descart, jika ada 3 lingkaran yang saling bersinggungan, maka ada 2 lingkaran yang bersinggungan dengan 3 lingkaran tersebut diluar dan didalam, maka berlaku :

$\sf \frac{1}{\sqrt{r_2}} = \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r_1}}$

$\sf \frac{1}{\sqrt{r_2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{r_1}}$

$\sf \frac{1}{\sqrt{r_{n + 1}}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{r_n}}$

$\sf \frac{1}{\sqrt{r_n}} = (n -1) + \frac{1}{\sqrt{r_1}}$

$\sf \frac{1}{\sqrt{r_n}} = n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1$

$\sf \sqrt{r_n} = \frac{1}{n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1}$

$\sf r_n = \frac{1}{(n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1)^2}$

sehingga luas arsir hijau :

$\sf \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi r_3^2 + \pi r_4^2 + ....$

$\sf \pi (r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2 + ....)$

$\sf \pi (((\sqrt{2} -1)^2)^2 + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf n = 2} \sf r_n^2)$

$\sf \pi ((\sqrt{2} -1)^4 + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf n = 2} \sf (\frac{1}{(n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1)^2})^2)$

misalkan x = n -1 maka :

$\sf \pi ((\sqrt{2} -1)^4 + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{\sqrt{r_1}})^2})^2)$

$\sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{\sqrt{r_1}})^2})^2)$

$\sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{\sqrt{( \sqrt{2} - 1) ^{2} }})^2})^2)$

$\sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{ \sqrt{2} - 1})^2})^2))$

$\sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \underbrace{\displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf \frac{1}{(x + \sqrt{2} + 1)^4}}_{\sf A} )$

Sekarang, kita bisa gunakan formula gabungan digamma function, gamma function dan zeta function :

$\sf \psi_{s} (z) = (-1)^{s + 1} \Gamma (s + 1) \zeta_{s + 1} (z)$

$\sf \psi_{s} (z) = (-1)^{s + 1} s! \displaystyle \sf \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{(z + n + 1)^{s + 1}}$

$\sf \psi_{3} (2 + \sqrt{2}) = (-1)^{3 + 1} 3! \displaystyle \sf \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{(\sqrt{2} + n - 1)^{3 + 1}}$

$\sf \psi_{3} (2 + \sqrt{2}) = 6 \displaystyle \sf \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{(n + \sqrt{2} + 1)^{4}}$

$\sf \psi_{3} (2 + \sqrt{2}) = 6 A$

$\sf A = \frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6}$

maka :

$\sf L = \pi (17 -12 \sqrt{2} +\frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} ) \approx 0.1325$

Kesimpulan

$\sf L = \pi (17 -12 \sqrt{2} +\frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} ) \approx 0.1325$

Pelajari lebih lanjut

soal mengenai geometri bidang datar : yomemimo.com/tugas/192898
soal mengenai geometri bidang datar : yomemimo.com/tugas/41955603
soal mengenai geometri bidang datar : yomemimo.com/tugas/47438014

Detail jawaban

kelas : 12
mapel : matematika
materi : Bab 1 - Geometri Biang Datar
kode soal : 2
kode kategori : 12.2.1
kata kunci : geometri, lingkaran, gamma function, zeta function, digamma function, diagonal

semoga membantu :)

$JawabanJadi, luas arsir hijau adalah[tex] \bf L = \pi (17 -12 \sqrt{2} +\frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} ) \approx 0.1325 [/tex]PendahuluanGeometri adalah cabang matematika yang mempelajari bangun ruang, bangun datar, dan lain lain yang bersangkutan dengan bentuk, ukuran, dan posisi.dalam geometri, ilmu phytagoras, Kekongruenan, kesebangunan, bahkan integral, semua itu pasti akan terpakai.DiketahuiSebuah persegi yang di dalamnya ada ¼ bagian kanan atas lingkaran, terdapat lingkaran yang menyinggung kedua sisi kanan dan atas persegi sekaligus lingkaran yang menyinggung ¼ lingkaran, lalu di kirinya ada lagi lingkaran yang menuinggung lingkaran sebelumnya, sisi atas persegi, dan ¼ lingkaran, dst, Ditanyaberapakah luas lingkaran-lingkaran tsb?Penyelesaianmisalkan urutan jari jari lingkaran terbesar sampai terkecil adalah :[tex] \sf r, \: r_1, \: r_2, \: r_3, \: r_4, \: ..... [/tex]maka dari gambar, didapat :r + 2r₁ + a = diagonal persegi1 + 2r₁ + a = √22r₁ + a = √2 -1 r₁ + a = r₁√2___________-r₁ = √2 -r₁√2 -1r₁ (√2 + 1) = √2 -1 [tex] \: \to \sf \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{\sqrt{2} -1}{ ( \sqrt{2})^2 -(1)^2} = \sqrt{2} - 1 [/tex]r₁ = (√2 -1)²Dari sini, kita bisa menggunakan teorema descart, jika ada 3 lingkaran yang saling bersinggungan, maka ada 2 lingkaran yang bersinggungan dengan 3 lingkaran tersebut diluar dan didalam, maka berlaku :[tex] \sf \frac{1}{\sqrt{r_2}} = \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{r_1}} [/tex][tex] \sf \frac{1}{\sqrt{r_2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{r_1}} [/tex][tex] \sf \frac{1}{\sqrt{r_{n + 1}}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{r_n}} [/tex][tex] \sf \frac{1}{\sqrt{r_n}} = (n -1) + \frac{1}{\sqrt{r_1}} [/tex][tex] \sf \frac{1}{\sqrt{r_n}} = n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1 [/tex][tex] \sf \sqrt{r_n} = \frac{1}{n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1} [/tex][tex] \sf r_n = \frac{1}{(n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1)^2} [/tex]sehingga luas arsir hijau :[tex] \sf \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi r_3^2 + \pi r_4^2 + .... [/tex][tex] \sf \pi (r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2 + ....) [/tex][tex] \sf \pi (((\sqrt{2} -1)^2)^2 + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf n = 2} \sf r_n^2) [/tex][tex] \sf \pi ((\sqrt{2} -1)^4 + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf n = 2} \sf (\frac{1}{(n + \frac{1}{\sqrt{r_1}} -1)^2})^2) [/tex]misalkan x = n -1 maka :[tex] \sf \pi ((\sqrt{2} -1)^4 + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{\sqrt{r_1}})^2})^2) [/tex][tex] \sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{\sqrt{r_1}})^2})^2) [/tex][tex] \sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{\sqrt{( \sqrt{2} - 1) ^{2} }})^2})^2) [/tex][tex] \sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf (\frac{1}{(x + \frac{1}{ \sqrt{2} - 1})^2})^2)) [/tex][tex] \sf \pi (17 -12 \sqrt{2} + \underbrace{\displaystyle \sum^{\infty}_{\sf x = 1} \sf \frac{1}{(x + \sqrt{2} + 1)^4}}_{\sf A} )[/tex]Sekarang, kita bisa gunakan formula gabungan digamma function, gamma function dan zeta function :[tex] \sf \psi_{s} (z) = (-1)^{s + 1} \Gamma (s + 1) \zeta_{s + 1} (z) [/tex][tex] \sf \psi_{s} (z) = (-1)^{s + 1} s! \displaystyle \sf \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{(z + n + 1)^{s + 1}} [/tex][tex] \sf \psi_{3} (2 + \sqrt{2}) = (-1)^{3 + 1} 3! \displaystyle \sf \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{(\sqrt{2} + n - 1)^{3 + 1}} [/tex][tex] \sf \psi_{3} (2 + \sqrt{2}) = 6 \displaystyle \sf \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1}{(n + \sqrt{2} + 1)^{4}} [/tex][tex] \sf \psi_{3} (2 + \sqrt{2}) = 6 A [/tex][tex] \sf A = \frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} [/tex]maka :[tex] \sf L = \pi (17 -12 \sqrt{2} +\frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} ) \approx 0.1325 [/tex]Kesimpulan[tex] \sf L = \pi (17 -12 \sqrt{2} +\frac{\psi_{3} (2 + \sqrt{2})}{6} ) \approx 0.1325 [/tex]Pelajari lebih lanjutsoal mengenai geometri bidang datar : brainly.co.id/tugas/192898soal mengenai geometri bidang datar : brainly.co.id/tugas/41955603soal mengenai geometri bidang datar : brainly.co.id/tugas/47438014Detail jawabankelas : 12mapel : matematikamateri : Bab 1 - Geometri Biang Datarkode soal : 2kode kategori : 12.2.1kata kunci : geometri, lingkaran, gamma function, zeta function, digamma function, diagonalsemoga membantu :)$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh e18ht1nFinity dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 03 Apr 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah