Jawaban:

MAKALAH PERSAMAAN GARIS LURUS Disusun untuk melengkapi tugas kelompok Geometri Analitik Ruang Kelas GAR B Kelompok 2 Oleh Nur Rovita Sani (120210101044) Yuli Nur Azizah (120210101077) Dyas Arintya P (120210101086) Silvia Umala (120210101114) Afilatul Laili (120210101115) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN AJARAN 2013 – 2014 2

3. PERSAMAAN GARIS LURUS Pada gambar di bawah ini adalah garis yang melalui titik P0(x0,y0,z0) dan sejajar dengan vektor v = ai+bj+ck. Untuk menentukan persamaan garis l, diambil sembarang titik P(x,y,z) pada Z P l P0 r ro v O Y X Garis l, maka v dan = t v dengan t bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik P0 dan P terhadap 0 adalah r0 = <x,y,z>, maka P0P = r - r0 dan karena = t v maka r - r0 = t v r = r0 + t v Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis lakan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui P0(x0,y0,z0) dan sejajar vektor v = <a,b,c> adalah r = r0 + tv Atau persamaan vektor garis l <x,y,z>.= < x0,y0,z0> +t <a,b,c> <x,y,z>.= < x0 + ta,y0 + tb,z0 +tc> x=x0 + ta;y=y0+ tb;z=z0 +tc Persamaan parametrik (kanonik) dari garis l. 3

4. Apabila parameter t dari persamaan parametrik ini dihilangkan, maka diperoleh Disebut persamaan simetrik dari garis l dengan bilangan arah a,b,c dan melalui titik (x0,y0,z0). Persamaan parametrik itu terdiri dari dua persamaan, yaitu Contoh 1 Tentukan persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang melalui titik a(3,-2,4) dan b(5,6,-2) Jawab : Sebuah vektor yang sejajar dengan garis ab adalah v = <2,8,-6> dipilih r0 = = <5-3,6-(-2),-2-4> = = <3,-2,4> dan r sebarang vektor posisi titik (x,y,z), maka persamaan vektor garis AB adalah r= r0 + t v <x,y,z>= < 3,-2,4> +t <2,8,-6> Persamaan parametriknya adalah x=3+2t , y=-2+8t , z=4-6t Sedangkan persamaan simetriknya adalah 4

5. Contoh 2 Tentukan persamaan simetrik dari garis potong bidang-bidang 2x – y-5z=-14 dan 4x+5y+4z=28. Jawab: Dari dua persamaan bidang kita hilangkan x, dan diperoleh y+2z=8. Jika dari dua persamaan bidang itu kita hilangkan y, maka diperoleh x= z -3. Dari dua persamaan ini dapat disusun persamaan simetriknya yaitu: Hasil ini bukanlah satu-satunya persamaan dari garis potong kedua bidang itu.misalkan, jika yang dihilangkan x dan z mungkin akan memperoleh persamaan yang berbeda, namun bilangan arahnya akan sama dengan k<3,-4,2> dengan k suatu bilangan real. Suatu penyelesaian lain didasarkan pada kenyataaan bahwa garis potong dua bidang tersebut akan tegak lurus pada vektor-vektor normalnya. Misalkan u=<2,-1,-5> adalah vektor normal bidang pertama dan v=<4,5,4> adalah vektor normal bidang kedua. Misalkan pula w = u x v, maka w= =21i-28j+14k Garis potong dua bidang itu sejajar dengan vector w ini selanjutnya dipilih suatu titik pada garis potong itu, misalkan (3,0,4) maka persamaan simetrik garis potong itu adalah 5