Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Tripel Pythagoras

Tiga bilangan x, y, dan z merupakan tripel Pythagoras apabila memenuhi:

x² + y² = z²,  dengan z > x, z > y, dan x, y, z > 0.

Pada segitiga siku-siku:

• x dan y menyatakan panjang masing-masing sisi siku-sikunya, dan
• z menyatakan panjang sisi miringnya (hipotenusa).

I. Pembuktian sederhana

Jika [a² – 1, 2a, a² + 1] adalah tripel Pythagoras, maka berlaku:

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)²

⇔ (a² – 1)² + 4a² = (a² + 1)²

Kita tahu bahwa (m + n)² = (m – n)² + 4mn, sehingga:

(a² + 1)² = (a² – 1)² + 4a²

Oleh karena itu:

(a² – 1)² + 4a² = (a² + 1)²

⇔ (a² – 1)² + 4a² = (a² – 1)² + 4a²

⇔ Ruas kiri = Ruas kanan

⇔ (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² terbukti benar.

Berdasarkan syarat tripel Pythagoras bahwa ketiga bilangannya adalah bilangan positif, maka kita harus memeriksa interval nilai a yang memenuhi.

Interval pertama:

a² – 1 > 0

⇔ a² > 1

⇔ a < –1 atau a > 1

Interval kedua:

2a > 0

⇔ a > 0

Penggabungan kedua interval tersebut:

(a < –1 atau a > 1) DAN (a > 0)

⇔ a > 1

Interval ketiga, yaitu a² + 1 > 0 tidak perlu dicari, karena jika a > 1, maka pastilah a² + 1 > 0.

∴  Dengan demikian, telah terbukti bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa

[a² – 1, 2a, a² + 1] merupakan tripel Pythagoras dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1.

II. Pembuktian dengan induksi matematika

Jika [a² – 1, 2a, a² + 1] dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1 adalah tripel Pythagoras, maka harus dibuktikan bahwa

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² dengan a sembarang bilangan asli > 1.

Karena a ∈ bilangan asli dan a > 1, maka pertama-tama akan ditunjukkan bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² benar untuk a = 2.

(2² – 1)² + (2×2)² = (2² + 1)²

⇔ 3² + 4² = 5²

⇔ 9 + 16 = 25

⇔ 25 = 25

⇔ terbukti benar.

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² benar untuk a = n, yaitu

(n² – 1)² + (2n)² = (n² + 1)²

dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1.

Akan ditunjukkan bahwa

(a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² juga benar untuk a = n + 1, yaitu

[(n+1)² – 1]² + [2(n+1)]² = [(n+1)² + 1]²

dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1.

[(n+1)² – 1]² + [2(n+1)]² = [(n+1)² + 1]²

⇔ [(n+1)²]² – 2(n+1)² + 1 + 4(n+1)² = [(n+1)² + 1]²

⇔ [(n+1)²]² – 2(n+1)² + 4(n+1)² + 1 = [(n+1)² + 1]²

⇔ [(n+1)²]² + (–2+4)(n+1)² + 1 = [(n+1)² + 1]²

⇔ [(n+1)²]² + 2(n+1)² + 1 = [(n+1)² + 1]²

⇔ [(n+1)² + 1]² = [(n+1)² + 1]²  (terbukti)

∴  Dengan demikian, telah terbukti bahwa (a² – 1)² + (2a)² = (a² + 1)² untuk a = 2, a = n (asumsi), dan a = n + 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa

[a² – 1, 2a, a² + 1] merupakan tripel Pythagoras dengan a ∈ bilangan asli dan a > 1.