Jawab:

• Keliling ΔABC adalah (48 + 16√3) cm atau 16(3 + √3) cm.
• Luas ΔABC adalah 128√3 cm².

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kesebangunan Segitiga Siku-Siku dan Teorema Phytagoras

Dari gambar diketahui:

∠CBA = 30°

⇔ ∠CAB = 90° – 30° = 60°

Oleh karena itu, untuk ΔADC:

∠CAD = ∠CAB = 60°.

Diketahui pula bahwa:

AD = 8 cm

Oleh karena itu:

cos ∠CAB = AD/AC

⇔ AC = AD / cos ∠CAB

          = 8 / cos 60°

          = 8 / (1/2)

⇔ AC = 16 cm

Tinggi ΔABC, yaitu CD, dapat dihitung dengan:

sin ∠CAB = CD/AC

⇔ CD = AC × sin ∠CAB

          = 16 × sin 60°

          = 16 × (√3/2)

⇔ CD = 8√3 cm

Dengan memperhatikan kesebangunan ΔBCD dan ΔCAD, perbandingan sisi-sisinya adalah:

DB/CD = CD/AD = BC/AC

Sehingga

DB = CD² / AD

      = (8√3)² / 8

      = 8(√3)²

DB = 24 cm

BC = (AC × CD) / AD

      = (16 × 8√3) / 8

      = 16 × √3

BC = 16√3 cm

Sedangkan untuk panjang AB, tinggal menjumlahkan panjang AD dan DB.

AB = AD + DB

AB = (8 + 24) cm

AB = 32 cm

Jadi, untuk ΔABC, panjang sisi-sisinya adalah:

• AB = 32 cm
• BC = 16√3 cm
• AC = 16 cm

Sebelum menghitung keliling, kita verivikasi dulu dengan teorema Phytagoras.

AB² = AC² + BC²

32² = 16² + (16√3)²

32² = 16² + 3×16²

32² = (1 + 3)×16²

32² = 4×16²

32² = 2²×16²

32² = (2×16)²

32² = 32²

(benar)

Karena sudah diverifikasi, mari kita hitung keliling dan luasnya.

Keliling ΔABC:

K ΔABC = AB + BC + AC

               = 32 + 16√3 + 16

               = (48 + 16√3) cm

K ΔABC = 16(3 + √3) cm

Luas ΔABC:

L ΔABC = (1/2) × alas × tinggi

L ΔABC = (1/2) × AB × CD

              = (1/2) × 32 × 8√3

              = 16 × 8√3

L ΔABC = 128√3 cm²

∴ Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:

• Keliling ΔABC adalah (48 + 16√3) cm atau 16(3 + √3) cm.
• Luas ΔABC adalah 128√3 cm².