QUIZ #16 grafik f(x) = e^x kurang bersahabat, banyak grafik

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QUIZ #16grafik f(x) = e^x kurang bersahabat, banyak grafik yang menjauhinya.

$\large 1.$

Karena g(x) = x sangat jauh dari f(x), bantu f(x) untuk memutar g(x) dengan menggubah g(x) = x menjadi g(x) = ax.

Maka berapa nilai a yang dibutuhkan supaya f dan g saling menempel?

$\large 2.$

Ada cara lain supaya f dan g menempel, ubah g(x) = x menjadi g(x) = x + a

berapa nilai a yang dibutuhkan supaya f dan g menempel

$\large 3.$

Ada 1 grafik lagi, h(y) = y², kamu akan mendekatkan h ke f sehingga mereka saling menempel, dengan mengubah h(y) = y² menjadi h(y) = y² -a.

berapa nilai a?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1.

Di soal diketahui bahwa

f(x) = e^x dan g(x) = ax.

Menggunakan aturan turunan,

f'(x) = e^x dan g'(x) = a.

Dan supaya f(x) dan g(x) saling menempel,

f(x) = g(x) dan

f'(x) = g'(x)

Substitusi keempat fungsi tersebut ke

f(x) = g(x)

f'(x) = g'(x)

dan kita dapat

$\begin{align} {e}^{x} &= ax \\ {e}^{x}& = a \end{align}$

Bagi persamaan pertama dengan yang kedua

$\begin{align} \frac{ {e}^{x} }{ {e}^{x} }& = \frac{ax}{a} \\ 1& = x \end{align}$

Substitusi nilai x ke persamaan kedua

$\begin{align}{e}^{1} &= a \\ e& = a \end{align}$

Jadi, jawabannya adalah

$a = e$

Nomor 2.

Di soal diketahui bahwa

f(x) = e^x dan g(x) = x + a.

Menggunakan aturan turunan,

f'(x) = e^x dan g(x) = 1.

Dan supaya f(x) dan g(x) saling menempel,

f(x) = g(x) dan

f'(x) = g'(x)

Substitusi keempat fungsi tersebut ke

f(x) = g(x)

f'(x) = g'(x)

dan kita dapat

$\begin{align} {e}^{x} &= x + a \\ {e}^{x}& = 1 \end{align}$

Selesaikan persamaan kedua

${e}^{x} = 1 \to x = 0$

Dan substitusi nilai x ke persamaan pertama

$\begin{align} {e}^{0} &= 0 + a \\ 1& = a \end{align}$

Jadi, jawabannya adalah

$a = 1$

Nomor 3.

$\begin{align} h(y) & = {y}^{2} - a \\ \text{misal} \: y = {h}^{ - 1}(x) \\ h( {h}^{ - 1}(x)) & = {( {h}^{ - 1}(x) )}^{2} - a \\ x & = { ({h}^{ - 1}(x) )}^{2} - a \\ x +a & = {( {h}^{ - 1}(x) )}^{2} \\ \sqrt{x + a}& = {h}^{ - 1} (x) \end{align}$

Kenapa gak

$- \sqrt{x + a} = {h}^{ - 1} (x) ?$

Pertama, turunan dari √(x + a) tidak terdefinisi pada x + a = 0.

Kedua, range dari e^x adalah (0, ∞)

Ketiga, √(x + a) selalu positif kalau bukan 0.

$\text{misalkan} \: i(x) = {h}^{ - 1} (x) = \sqrt{x + a} \\$

Jadi, kita ubah pernyataan dan pertanyaan menjadi

"f(x) = e^x dan i(x) = √(x + a).

Supaya f(x) dan i(x) menempel, berapakah nilai a?".

Di soal yang barusan dibuat,

f(x) = e^x dan i(x) = √(x + a)

Menggunakan aturan turunan,

f'(x) = e^x dan

$i'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + a} }$

Dan supaya f(x) dan i(x) saling menempel,

f(x) = i(x) dan

f'(x) = i'(x).

Substitusi keempat fungsi tersebut ke

f(x) = i(x)

f'(x) = i'(x)

dan kita dapat

$\begin{align} {e}^{x} &= \sqrt{x + a} \\ {e}^{x}& = \frac{1}{2 \sqrt{x + a} } \end{align}$

Kalikan persamaan pertama dengan persamaan kedua

$\begin{align} {e}^{x} \cdot {e}^{x} & = \sqrt{x + a} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x + a} } \\ {e}^{2x}& = \frac{1}{2} \\ 2x & = \ln( \frac{1}{2} ) \\ x & = - \frac{1}{2} \ln(2) \end{align}$

Substitusi nilai x ke persamaan pertama

$\begin{align} {e}^{ - \frac{1}{2} \ln(2) } & = \sqrt{ - \frac{1}{2} \ln(2) + a } \\ {e}^{ - \ln(2) } & = - \frac{1}{2} \ln(2) + a \\ \frac{1}{2}& = - \frac{1}{2} \ln(2) = a \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln(2) & = a \\ \frac{1}{2} (1 + \ln(2)) & = a \end{align}$