1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QUIZ #14diketahui luas daerah D yang dibatasi grafik f(x) =

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QUIZ #14diketahui luas daerah D yang dibatasi grafik f(x) = cos( ln(x) ) dan sumbu x (diatas sumbu x) di e^{ - \frac{ \pi }{2}} < x < e^{ \frac{ \pi}{2}}

a. Cari akar akar f(x) dan buktikan jika interval untuk daerah D yang dimaksud berada di e^{ - \frac{ \pi }{2}} < x < e^{ \frac{ \pi}{2}}

b. Cari luas daerah D, buktikan jika D = \frac{ e^{ \frac{\pi}{2} }+ e^{ - \frac{\pi}{2}}}{2} = cosh ( \frac{ \pi}{2} )​
QUIZ #14diketahui luas daerah D yang dibatasi grafik f(x) = cos( ln(x) ) dan sumbu x (diatas sumbu x) di [tex] e^{ - \frac{ \pi }{2}} < x < e^{ \frac{ \pi}{2}} [/tex]a. Cari akar akar f(x) dan buktikan jika interval untuk daerah D yang dimaksud berada di [tex] e^{ - \frac{ \pi }{2}} < x < e^{ \frac{ \pi}{2}} [/tex]b. Cari luas daerah D, buktikan jika D = [tex] \frac{ e^{ \frac{\pi}{2} }+ e^{ - \frac{\pi}{2}}}{2} [/tex]= cosh ( [tex] \frac{ \pi}{2} [/tex] )​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

a. \; f(x) = \cos(\ln(x)) = 0\\\ln(x) = \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\\\\x = e^{\textstyle 2\pi k}\\\\\text{Karena solusi nya berganda, untuk mencari wilayah D cari interval dimana}\\\text{fungsi terbuka ke bawah dan ke atas (dekat sumbu xy) :}\\f'(x) = -\dfrac{\sin(\ln(x))}{x}\\f''(x) = -\dfrac{\cos(\ln(x)) - \sin(\ln(x))}{x^2} < 0\\\\\sin(\ln(x)) < \cos(\ln(x)) \to -\dfrac{3\pi}{4} < \ln(x) < \dfrac{\pi}{4}\\e^{\textstyle -\dfrac{3\pi}{4}} < x = e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}+2\pi k}< e^{\textstyle \dfrac{\pi}{4}}

untuk yang terbuka ke bawah, adalah lanjutan interval diatas :

\sin(\ln(x)) > \cos(\ln(x)) \to \dfrac{\pi}{4} < \ln(x) < \dfrac{5\pi}{4}\\\\e^{\textstyle \dfrac{\pi}{4}} < x=e^{\textstyle 2\pi k} < e^{\textstyle \dfrac{5\pi}{4}}

gabungkan kedua interval :

e^{\textstyle -\dfrac{3\pi}{4}} < x < e^{\textstyle \dfrac{5\pi}{4}}\\.095 < x < 50.75\\e^{\textstyle -\dfrac{3\pi}{4}} < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}+2\pi k} < e^{\textstyle \dfrac{5\pi}{4}}\\-\dfrac{3\pi}{4}

sedangkan interval :

e^{\textstyle -\dfrac{\pi}{2}} < x < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}}\\.208 < x < 4.81

berada dalam interval yang digabungkan tadi

e^{\textstyle -\dfrac{\pi}{2}} < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}+2\pi k} < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}}\\ \\-\dfrac{\pi}{2}

b) \; L =\displaystyle \int\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} \cos(\ln(x)) \;dx\\\\L = \text{Re$\left(\int\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} e^{\textstyle i\ln(x)} \;dx\right)$}\\\\

\displaystyle L = \text{Re$\left(\int\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} x^{ \textstyle i}\; dx\right)$}\\L = \text{Re$\left(\dfrac{1}{i+1} \; x^{\textstyle i+1}\right|\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} \Big)$}\\\\L = \text{Re$\left(-\dfrac{i-1}{2} \; \left(e^{\dfrac{\pi}{2}}\cdot e^{\textstyle i\dfrac{\pi}{2}} - e^{-\dfrac{\pi}{2}}\cdot e^{\textstyle- i\dfrac{\pi}{2}}\right) \;\Big)$}\\\\

L = \dfrac{1}{2}\;\text{Re$\left((1-i) \; (ie^{\dfrac{\pi}{2}} + ie^{-\dfrac{\pi}{2}})\;\Big)$}\\\\L = \dfrac{1}{2}\;\text{Re$\left((i+1) \; (e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}})\;\Big)$}\\\\L = \dfrac{1}{2}\;\text{Re$\left(e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}} + i(e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}})\;\Big)$}

\boxed{\begin{minipage}{30em}\text{\Huge{$\boldsymbol{L = \dfrac{e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}}}{2}}$}}\\\\\text{\Huge{$\boldsymbol{\cosh(x) = \dfrac{e^{\textstyle x} + e^{\textstyle -x}}{2}}$}}\\\\\text{\Huge{$\boldsymbol{L = \cosh\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$}}\\\\\end{minipage}}

keterangan :

\exp(a) = e^{\textstyle a}

tambahan pada gambar : pertidaksamaan trigonometri

Jawab:Penjelasan dengan langkah-langkah:[tex]a. \; f(x) = \cos(\ln(x)) = 0\\\ln(x) = \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\\\\x = e^{\textstyle 2\pi k}\\\\\text{Karena solusi nya berganda, untuk mencari wilayah D cari interval dimana}\\\text{fungsi terbuka ke bawah dan ke atas (dekat sumbu xy) :}\\f'(x) = -\dfrac{\sin(\ln(x))}{x}\\f''(x) = -\dfrac{\cos(\ln(x)) - \sin(\ln(x))}{x^2} < 0\\\\\sin(\ln(x)) < \cos(\ln(x)) \to -\dfrac{3\pi}{4} < \ln(x) < \dfrac{\pi}{4}\\e^{\textstyle -\dfrac{3\pi}{4}} < x = e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}+2\pi k}< e^{\textstyle \dfrac{\pi}{4}}[/tex]untuk yang terbuka ke bawah, adalah lanjutan interval diatas :[tex]\sin(\ln(x)) > \cos(\ln(x)) \to \dfrac{\pi}{4} < \ln(x) < \dfrac{5\pi}{4}\\\\e^{\textstyle \dfrac{\pi}{4}} < x=e^{\textstyle 2\pi k} < e^{\textstyle \dfrac{5\pi}{4}}[/tex]gabungkan kedua interval :[tex]e^{\textstyle -\dfrac{3\pi}{4}} < x < e^{\textstyle \dfrac{5\pi}{4}}\\.095 < x < 50.75\\e^{\textstyle -\dfrac{3\pi}{4}} < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}+2\pi k} < e^{\textstyle \dfrac{5\pi}{4}}\\-\dfrac{3\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}+2\pi k<\dfrac{5\pi}{4}\\\\-\dfrac{5}{8}<k<\dfrac{3}{8}[/tex]sedangkan interval :[tex]e^{\textstyle -\dfrac{\pi}{2}} < x < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}}\\.208 < x < 4.81[/tex]berada dalam interval yang digabungkan tadi[tex]e^{\textstyle -\dfrac{\pi}{2}} < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}+2\pi k} < e^{\textstyle \dfrac{\pi}{2}}\\ \\-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{\pi}{2}+2\pi k < \dfrac{\pi}{2}\\\\-\pi<2\pi k < 0\\\\-\dfrac{1}{2} < k < 0[/tex][tex]b) \; L =\displaystyle \int\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} \cos(\ln(x)) \;dx\\\\L = \text{Re$\left(\int\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} e^{\textstyle i\ln(x)} \;dx\right)$}\\\\[/tex][tex]\displaystyle L = \text{Re$\left(\int\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} x^{ \textstyle i}\; dx\right)$}\\L = \text{Re$\left(\dfrac{1}{i+1} \; x^{\textstyle i+1}\right|\limits_{\exp(-\dfrac{\pi}{2})}^{\exp(\dfrac{\pi}{2})} \Big)$}\\\\L = \text{Re$\left(-\dfrac{i-1}{2} \; \left(e^{\dfrac{\pi}{2}}\cdot e^{\textstyle i\dfrac{\pi}{2}} - e^{-\dfrac{\pi}{2}}\cdot e^{\textstyle- i\dfrac{\pi}{2}}\right) \;\Big)$}\\\\[/tex][tex]L = \dfrac{1}{2}\;\text{Re$\left((1-i) \; (ie^{\dfrac{\pi}{2}} + ie^{-\dfrac{\pi}{2}})\;\Big)$}\\\\L = \dfrac{1}{2}\;\text{Re$\left((i+1) \; (e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}})\;\Big)$}\\\\L = \dfrac{1}{2}\;\text{Re$\left(e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}} + i(e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}})\;\Big)$}[/tex][tex]\boxed{\begin{minipage}{30em}\text{\Huge{$\boldsymbol{L = \dfrac{e^{\dfrac{\pi}{2}} + e^{-\dfrac{\pi}{2}}}{2}}$}}\\\\\text{\Huge{$\boldsymbol{\cosh(x) = \dfrac{e^{\textstyle x} + e^{\textstyle -x}}{2}}$}}\\\\\text{\Huge{$\boldsymbol{L = \cosh\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$}}\\\\\end{minipage}}[/tex]keterangan :[tex]\exp(a) = e^{\textstyle a}[/tex]tambahan pada gambar : pertidaksamaan trigonometri

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh ridhovictor dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 21 Aug 21
<< Previous Post
Next Post >>