Jawaban:

Rotasi adalah perputaran suatu benda dengan titik pusat tertentu. Jika diputar searah jarum jam maka sudut putarnya negatif dan jika diputar berlawanan arah jarum jam maka sudut putarnya positif. Translasi adalah pergeseran suatu benda dengan arah tertentu. Refleksi adalah pencerminan suatu benda terhadap garis tertentu. Bayangan benda hasil rotasi, refleksi dan translasi tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Pembahasan

Bayangan dari titik (x, y) oleh rotasi dengan pusat (a, b) dan sudut α adalah

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}cos\:\alpha& -sin\:\alpha\\sin\:\alpha&cos\:\alpha\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x-a\\y-b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}a\\b\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

cosα

sinα

−sinα

cosα

][

x−a

y−b

]+[

a

b

]

Jadi

Bayangan dari titik (x, y) oleh rotasi dengan pusat (0, 0) dan sudut α adalah

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}cos\:\alpha& -sin\:\alpha\\sin\:\alpha&cos\:\alpha\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x-0\\y-0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

cosα

sinα

−sinα

cosα

][

x−0

y−0

]+[

0

0

]

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}cos\:\alpha& -sin\:\alpha\\sin\:\alpha&cos\:\alpha\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

cosα

sinα

−sinα

cosα

][

x

y

]

.

Bayangan dari titik (x, y) oleh Translasi \begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}a\\b\end{array}\right]\end{gathered}

[

a

b

]

adalah

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}a\\b\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

a

b

]+[

x

y

]

Bayangan titik (x, y) jika dicerminkan terhadap :

Sumbu x adalah (x, -y)

Sumbu y adalah (-x, y)

Garis y = x adalah (y, x)

Garis y = -x adalah (-y, -x)

Garis x = a adalah (2a - x, y)

Garis y = b adalah (x, 2b - y)

1) Bayangan dari A(3, 5) jika diputar 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0) adalah...

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}cos\:90^{0}&-sin\:90^{0}\\sin\:90^{0}&cos\:90^{0}\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}3\\5\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

cos90

0

sin90

0

−sin90

0

cos90

0

][

3

5

]

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}3\\5\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

0

1

−1

0

][

3

5

]

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-5\\3\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

−5

3

]

Jadi koordinat titik A’(-5, 3)

ATAU

Jika titik (x, y) dirotasi 90° dengan pusat O(0, 0) adalah (-y, x)

Jadi bayangan dari titik A(3, 5) jika dirotasi 90° dengan pusat O(0, 0) adalah A’(-5, 3)

2) Bayangan dari titik A(3, 1) jika dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) sejauh 90° searah jarum jam, kemudian bayangannya dicerminkan terhadap garis y = 2 adalah ...

Bayangan titik A(3, 1) oleh rotasi [O, -90°]

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}cos\:(-90^{0})& -sin\:(-90^{0})\\sin\:(-90^{0})&cos\:(-90^{0})\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}3\\1\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

cos(−90

0

)

sin(−90

0

)

−sin(−90

0

)

cos(−90

0

)

][

3

1

]

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}3\\1\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

0

−1

1

0

][

3

1

]

\begin{gathered}\left[\begin{array}{cc}x'\\y'\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1\\-3\end{array}\right]\end{gathered}

[

x

′

y

′

]=[

1

−3

]

Jadi koordinat A’ adalah A’(1, -3)

ATAU

Jika titik (x, y) dirotasi -90° dengan pusat O(0, 0) adalah (y, -x)

Jadi bayangan dari titik A(3, 1) jika dirotasi 90° dengan pusat O(0, 0) adalah A’(1, -3)

Bayangan A’(1, -3) dicerminkan terhadap y = 2 adalah

= A’’ (x, 2b - y)

= A’’ (1, 2(2) - (-3))

= A’’ (1, 4 + 3)

= A’’ (1, 7)

3) Suatu segitiga ABC dengan koordinat titik A(-1, 3), B(4, 1), C(0, -1). Jika segitiga tersebut ditranslasikan sebesar (4, -2) maka hasil translasi dari dari titik C adalah ...

C’ (x + a, y + b)

= C’ (0 + 4, (-1) + (-2))

= C’ (4, -3)

Jika disuruh untuk mencari bayangan dari titik A(-1, 3) dan B(4, 1) oleh translasi T(4, -2) adalah jawabannya sebagai berikut:

Bayangan titik A(-1, 3)

A’ (x + a, y + b)

= A’ (-1 + 4, 3 + (-2))

= A’ (3, 1)

Bayangan titik B(0, -1)

B’ (x + a, y + b)

= B’ (0 + 4, (-1) + (-2))

= B’ (4, -3)

Pelajari lebih lanjut

Soal tentang refleksi terhadap titik (a, b)

yomemimo.com/tugas/8097292

--------------------------------------------------

Detil Jawaban

Kelas : 11

Mapel : Matematika

Kategori : Transformasi Geometri

Kode : 11.2.6

Kata Kunci : Rotasi, Refleksi dan Translasi