jawaban:Kelas : X (1 SMA)

Materi : Persamaan dan Pertidaksamaan

Kata Kunci : nilai, mutlak, persamaan, pertidaksamaan, sifat-sifat, contoh

Pembahasan :

Nilai mutlak dari sebarang bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan sebagai

|x| = x, bila x ≥ 0 dan |x| = -x, bila x < 0.

Nilai mutlak tersebut selalu bernilai positif atau nol.

Sifat-sifat nilai mutlak pada persamaan dan pertidaksamaan, yaitu :

1. |x| ≥ 0 untuk setiap bilangan real x;

2. |-x| = |x|, untuk setiap bilangan real x;

3. |x - y| = |y - x|, untuk setiap bilangan real x dan y;

4. |x| = √x²;

5. |x|² = x²;

6. |x . y| = |x| . |y|, untuk x, y ∈ R;

7. |\frac{x}{y}|= \frac{|x|}{|y|}∣

y

x

∣=

∣y∣

∣x∣

, untuk x, y ∈ R dan y ≠ 0;

8. |x - y|² = (x - y)² = x² - 2xy + y²;

9. |x + y|² = (x + y)² = x² + 2xy + y²;

10. Jika |x| < |y|, maka x² < y²;

11. |x - y| ≥ |x| - |y|;

12. |x + y| ≤ |x| + |y|;

13. |x| ≤ k ⇔ -k ≤ x ≤ k;

14. |x| < k ⇔ -k < x < k;

15. |x| ≥ k ⇔ x ≥ k V x ≤ -k;

16. |x| > k ⇔ x > k V x < -k;

17. |ax + b| < |mx + n| ⇔ ⇔(ax + b)² < (mx + n)²;

18. |x| > 0 dipenuhi oleh x ∈ R, kecuali x = 0;

19. |x| ≤ 0 dipenuhi oleh x = 0;

20. |x| < 0, tidak ada nilai x ∈ R yang memenuhi;

21. |x| ≥ k dan k < 0 dipenuhi oleh x ∈ R.

contoh 1 :

Tentukan penyelesaian dari persamaan |2x + 5| = 3!

jawab :

|2x + 5| = |-(2x + 5)| = 3, sehingga

2x + 5 = 3 V -(2x + 5) = 3

⇔ 2x = 3 - 5 V -2x - 5 = 3

⇔ 2x = -2 V -2x = 3 + 5

⇔ 2x = -2 V -2x = 8

⇔ x = -1 V x = -4

Jadi, penyelesaian dari |2x + 5| = 3 adalah -4 dan -1.

contoh 2 :

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |x - 2| < 3!

jawab :

|x - 2| < 3

⇔ √(x - 2)² < 3

⇔ (x - 2)² < 3²

⇔ (x - 2)² - 3² < 0

⇔ (x - 2 + 3)(x - 2 - 3) < 0

⇔ (x + 1)(x - 5) < 0

Kita cek

____

| |

+++ - - - +++

-1 5

⇔ -1 < x < 5

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |x - 2| < 3 adalah -1 < x < 5.

contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari persamaan |3x - 7| = -1!

jawab :

|3x - 7| = -1

Karena nilai mutlak dari suatu bilangan selalu tidak negatif, maka penyelesaiannya tidak ada.

Semangat!