Penjelasan dengan langkah-langkah:

1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = 2n² - n

*Buktikan bahwa untuk n = 1, Benar

(4n - 3) = 2n² - n

4(1) - 3 = 2(1)² - 1

4 - 3 = 2 - 1

1 = 1 (Benar)

*Asumsikan bahwa untuk n = k, Benar

1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3) = 2k² - k (Benar)

*Juga Benar, untuk n = k + 1

1 + 5 + 9 + ... + (4k - 3) + (4(k + 1) - 3) = (2(k + 1)² - (k + 1)

(2k² - k) + (4k + 4 - 3) = [2(k² + 2k + 1) - (k + 1)]

2k² + 3k + 1 = (2k² + 4k + 2) - (k + 1)

2k² + 3k + 1 = 2k² + 3k + 1 (Benar)

Jadi, terbukti bahwa

1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = 2n² - n, berlaku untuk setiap n anggota himpunan bilangan asli.