Jawaban:

Determinan matriks P^{-1} .Q^{-1}P

−1

.Q

−1

adalah 1.

Pembahasan

Matriks adalah susunan bilangan yang berbentuk persegi atau persegi panjang yang disusun dalam baris dan kolom serta diletakkan didalam kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ].

..

Determinan Matriks

Determinan matriks dilambangkan dengan tanda det(A), det A, atau |A|.

Rumus : \begin{gathered}\boxed{\bold{\:\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix} = a.d-b.c\:}}\end{gathered}

∣

∣

∣

∣

∣

a

c

b

d

∣

∣

∣

∣

∣

=a.d−b.c

..

Invers Matriks

Invers matriks biasa dilambangkan dengan A^{-1}A

−1

(pangkat -1 diatas huruf).

jika matriks A = \begin{gathered}\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]\end{gathered}

[

a

c

b

d

]

, maka inversnya adalah \begin{gathered}\boxed{\bold{A^{-1} =\frac{1}{det \:A} \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right] }}\end{gathered}

A

−1

=

detA

1

[

d

−c

−b

a

]

.

..

Dari penjelasan tersebut, mari selesaikan soal berikut.

Diketahui :

\begin{gathered}P = \left[\begin{array}{ccc}2&5\\1&3\end{array}\right]\end{gathered}

P=[

2

1

5

3

]

\begin{gathered}Q = \left[\begin{array}{ccc}5&4\\1&1\end{array}\right]\end{gathered}

Q=[

5

1

4

1

]

Ditanya :

Determinan matriks P^{-1} .Q^{-1}P

−1

.Q

−1

?

Jawab :

Langkah pertama adalah mencari invers dari matriks P dan Q.

Invers Matriks P

\begin{gathered}P = \left[\begin{array}{ccc}2&5\\1&3\end{array}\right]\\P^{-1} =\frac{1}{2.3 - 5.1} \left[\begin{array}{ccc}3&-5\\-1&2\end{array}\right]\\P^{-1} =\frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc}3&-5\\-1&2\end{array}\right]\\P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3&-5\\-1&2\end{array}\right]\end{gathered}

P=[

2

1

5

3

]

P

−1

=

2.3−5.1

1

[

3

−1

−5

2

]

P

−1

=

1

1

[

3

−1

−5

2

]

P

−1

=[

3

−1

−5

2

]

Invers Matriks Q

\begin{gathered}Q = \left[\begin{array}{ccc}5&4\\1&1\end{array}\right]\\Q^{-1}=\frac{1}{5.1-4.1} \left[\begin{array}{ccc}1&-4\\-1&5\end{array}\right]\\Q^{-1}=\frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc}1&-4\\-1&5\end{array}\right]\\Q^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&-4\\-1&5\end{array}\right]\end{gathered}

Q=[

5

1

4

1

]

Q

−1

=

5.1−4.1

1

[

1

−1

−4

5

]

Q

−1

=

1

1

[

1

−1

−4

5

]

Q

−1

=[

1

−1

−4

5

]

..

Setelah mencari invers, untuk menentukan Determinan matriks P^{-1} .Q^{-1}P

−1

.Q

−1

, maka langkah selanjutnya adalah mengalikan hasil invers matriks P dan Q terlebih dahulu.

\begin{gathered}P^{-1} .Q^{-1} \\= \left[\begin{array}{ccc}3&-5\\-1&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&-4\\-1&5\end{array}\right]\\=\left[\begin{array}{ccc}3.1+(-5)(-1)&3(-4)+(-5).5\\(-1).1+2(-1)&(-1)(-4)+2.5\end{array}\right] \\= \left[\begin{array}{ccc}3+5&-12-25\\-1-2&4+10\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ccc}8&-37\\-3&14\end{array}\right]\end{gathered}

P

−1

.Q

−1

=[

3

−1

−5

2

][

1

−1

−4

5

]

=[

3.1+(−5)(−1)

(−1).1+2(−1)

3(−4)+(−5).5

(−1)(−4)+2.5

]

=[

3+5

−1−2

−12−25

4+10

]

=[

8

−3

−37

14

]

..

Setelah diketahui P^{-1} .Q^{-1}P

−1

.Q

−1

, barulah kita dapat menentukan determinannya.

Determinan matriks P^{-1} .Q^{-1}P

−1

.Q

−1

\begin{gathered}\begin{vmatrix}P^{-1} .Q^{-1} \end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}8 &-37 \\-3 & 14\end{vmatrix}\\=8.14 - (-37)(-3)\\=112 - 111\\=1\end{gathered}

∣

∣

∣

P

−1

.Q

−1

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

8

−3

−37

14

∣

∣

∣

∣

∣

=8.14−(−37)(−3)

=112−111

=1

..

Jadi, Determinan matriks P^{-1} .Q^{-1}P

−1

.Q

−1

adalah 1

Kelas : 11

Mapel : Matematika

Materi : Matriks

Kode soal : 2

Kode kategorisasi : 11.2.5

Kata Kunci : Matriks, Determinan, Invers

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Udh td di atas makanya baca ya