diketahui suatu fungsi g(x) = x/(1+x²) tentukan dimana fungsi tersebut

Berikut ini adalah pertanyaan dari Sishilia pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui suatu fungsi g(x) = x/(1+x²) tentukan dimana fungsi tersebuta.) baik dan turun
b.) cekung ke atas dan cekung ke bawah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a). Interval fungsi naik adalah -1 < x < 1 dan interval fungsi turun adalah x < -1 atau x > 1.

b). Interval fungsi cekung ke atas adalah -√3 < x < 0 atau x > √3 dan interval fungsi cekung ke bawah adalah x < -√3 atau 0 < x < √3.

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Salah dua fungsi dari turunan adalah menentukan interval fungsi naik/turun dan fungsi cekung ke atas/bawah, dimana :

1. Fungsi akan naik pada saat f'(x) > 0.

2. Fungsi akan turun pada saat f'(x) < 0.

3. Fungsi akan cekung ke atas pada saat f''(x) > 0.

4. Fungsi akan cekung ke bawah pada saat f''(x) < 0.

Dengan :

f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).

f''(x) = turunan kedua fungsi f(x).

DIKETAHUI

$\displaystyle{g(x)=\frac{x}{1+x^2} }$

DITANYA

Tentukan dimana fungsi ;

a). Naik dan turun

b). Cekung ke atas dan cekung ke bawah.

PENYELESAIAN

SOAL A.

$\displaystyle{g(x)=\frac{x}{1+x^2} }$

Misal :

$u=x~\to~u'=1$

$v=1+x^2~\to~v'=2x$

Maka :

$\displaystyle{g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

$\displaystyle{g'(x)=\frac{1(1+x^2)-x(2x)}{(1+x^2)^2} }$

$\displaystyle{g'(x)=\frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} }$

$\displaystyle{g'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} }$

$\displaystyle{g'(x)=\frac{(1+x)(1-x)}{(1+x^2)^2} }$

Pembuat nol fungsi : x = -1 dan x = 1. Kita masukkan ke garis bilangan.

$--o++o--$

$.~~-1~~~~~1$

Fungsi akan naik pada saat :

$g'(x)> 0$

$\displaystyle{\frac{(1+x)(1-x)}{(1+x^2)^2}> 0 }$

Pilih daerah bertanda ++, yaitu -1 < x < 1.

Fungsi akan turun pada saat :

$g'(x)< 0$

$\displaystyle{\frac{(1+x)(1-x)}{(1+x^2)^2}< 0 }$

Pilih daerah bertanda --, yaitu x < -1 atau x > 1.

SOAL B.

$\displaystyle{g'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} }$

Misal :

$u=1-x^2~\to~u'=-2x$

$v=(1+x^2)^2~\to~v'=2(1+x^2)(2x)=4x(1+x^2)$

Maka :

$\displaystyle{g''(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} }$

$\displaystyle{g''(x)=\frac{-2x(1+x^2)^2-(1-x^2)4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4} }$

$\displaystyle{g''(x)=\frac{(1+x^2)[-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)]}{(1+x^2)^4} }$

$\displaystyle{g''(x)=\frac{-2x-2x^3-4x+4x^3}{(1+x^2)^3} }$

$\displaystyle{g''(x)=\frac{-6x+2x^3}{(1+x^2)^3} }$

$\displaystyle{g''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3} }$

$\displaystyle{g''(x)=\frac{2x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(1+x^2)^3} }$

Pembuat nol fungsi : x = -√3, x = 0, dan x = √3. Kita masukkan ke garis bilangan.

$--o++o--o++$

$-\sqrt{3}~~~~~~0~~~~~\sqrt{3}$

Fungsi akan cekung ke atas pada saat :

$g''(x)> 0$

$\displaystyle{\frac{2x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(1+x^2)^3}> 0 }$

Pilih daerah bertanda ++, yaitu -√3 < x < 0 atau x > √3.

Fungsi akan turun pada saat :

$g''(x)< 0$

$\displaystyle{\frac{2x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(1+x^2)^3}< 0 }$

Pilih daerah bertanda --, yaitu x < -√3 atau 0 < x < √3.

KESIMPULAN

a). Interval fungsi naik adalah -1 < x < 1 dan interval fungsi turun adalah x < -1 atau x > 1.

b). Interval fungsi cekung ke atas adalah -√3 < x < 0 atau x > √3 dan interval fungsi cekung ke bawah adalah x < -√3 atau 0 < x < √3.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Fungsi cekung ke bawah : yomemimo.com/tugas/44346941
Fungsi monoton turun : yomemimo.com/tugas/30387781
Interval fungsi naik/turum : yomemimo.com/tugas/27959022

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Turunan Fungsi Aljabar

Kode Kategorisasi: 11.2.9

Kata Kunci : turunan, interval, naik, turun, cekung.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 05 Feb 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah