Jawaban:

Nilai x yang memenuhi persamaan berikut:

a. |x − 2| = |2x − 7| adalah x = 3 atau x = 5

b. |3x + 8| = |4x − 2| adalah x = −6/7 atau x = 10

Definisi nilai mutlak

\begin{gathered}|x| = \left \{\begin{array}{cc}x, \: jika \: x \geq 0 \\-x, \: jika \: x < 0 \end \end{gathered}

Persamaan nilai mutlak

|f(x)| = |g(x)| maka |f(x)|² = |g(x)|²

Pertidaksamaan nilai mutlak

|f(x)| > |g(x)| maka [f(x)]² > [g(x)]²

|f(x)| < |g(x)| maka [f(x)]² < [g(x)]²

Pembahasan

1) Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut:

a. |x − 2| = |2x − 7|

(x – 2)² = (2x – 7)²

x² – 4x + 4 = 4x² – 28x + 49

x² – 4x + 4 – 4x² + 28x – 49 = 0

–3x² + 24x – 45 = 0

–3(x² – 8x + 15) = 0

–3(x – 5)(x – 3) = 0

(x – 5) = 0 atau (x – 3) = 0

x = 5 x = 3

Jadi nilai x yang memenuhi pada persamaan tersebut adalah x = 3 atau x = 5

b. |3x + 8| = |4x − 2|

(3x + 8)² = (4x – 2)²

9x² + 48x + 64 = 16x² – 16x + 4

9x² + 48x + 64 – 16x² + 16x – 4 = 0

–7x² + 64x + 60 = 0

–(7x² – 64x – 60) = 0

–(7x + 6)(x – 10) = 0

(7x + 6) = 0 atau (x – 10) = 0

7x = –6 x = 10

x = -\frac{6}{7}−

7

6

Jadi nilai x yang memenuhi pada persamaan tersebut adalah x = -\frac{6}{7}−

7

6

atau x = 10

2) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. |3x + 2| > 5

(3x + 2)² > 5²

9x² + 12x + 4 > 25

9x² + 12x + 4 – 25 > 0

9x² + 12x – 21 > 0

3(3x² + 4x – 7) > 0

3(3x + 7)(x – 1) > 0

(3x + 7) = 0 ⇒ x = -\frac{7}{3}−

3

7

(x – 1) = 0 ⇒ x = 1

Garis bilangan

+++++ (-\frac{7}{3}−

3

7

) – – – – (1) ++++++

Karena 3(3x + 7)(x – 1) > 0, kita ambil daerah yang positif sehingga himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | x < -\frac{7}{3}−

3

7

atau x > 1, x ∈ R}

b. |2x + 4| ≥ |x + 5|

(2x + 4)² ≥ (x + 5)²

4x² + 16x + 16 ≥ x² + 10x + 25

4x² + 16x + 16 – x² – 10x – 25 ≥ 0

3x² + 6x – 9 ≥ 0

3(x² + 2x – 3) ≥ 0

3(x + 3)(x – 1) ≥ 0

(x + 3) = 0 ⇒ x = –3

(x – 1) = 0 ⇒ x = 1

Garis bilangan

+++++ [–3] – – – – [1] ++++++

Karena 3(x + 3)(x – 1) ≥ 0, kita ambil daerah yang positif sehingga himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | x ≤ –3 atau x ≥ 1, x ∈ R}

c. |3x − 1| < 8

(3x – 1)² < 8²

9x² – 6x + 1 < 64

9x² – 6x + 1 – 64 < 0

9x² – 6x – 63 < 0

3(3x² – 2x – 21) < 0

3(3x + 7)(x – 3) < 0

(3x + 7) = 0 ⇒ x = -\frac{7}{3}−

3

7

(x – 3) = 0 ⇒ x = 3

Garis bilangan

+++++ (-\frac{7}{3}−

3

7

) – – – – (3) ++++++

Karena 3(3x + 7)(x – 3) < 0, kita ambil daerah yang negatif sehingga himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | -\frac{7}{3}−

3

7

< x < 3, x ∈ R}