Diketahui sebuah barisan bilangan geometri sebagai berikut:

{(x²- 3x + 2), (x³- 6x² + 11x - 6), (2x⁴ - 20x³ + 70x² - 100x + 48), … }

Maka, nilai suku yang ke-20 adalah 6.291.456

Pendahuluan

Apa sih bedanya barisan dan deret bilangan itu?

Barisan bilangan adalah susunan dari beberapa bilangan yang beraturan. Sedangkan, deret bilangan merupakan penjumlahan dari barisan bilangan.

➔ Definisi barisan bilangan geometri:

Barisan bilangan geometri merupakan susunan bilangan yang antara suatu suku dengan suku berikutnya dibedakan oleh rasio/perbandingan.

➔ Rumus umum suku ke-n barisan bilangan geometri:

Keterangan :

• Uₙ = nilai suku ke-n,
• a = suku pertama,
• r = rasio.

Pembahasan

➥ Diketahui :

• U₁ = x² - 3x + 2,
• U₂ = x³ - 6x² + 11x - 6,
• U₃ = 2x⁴ - 20x³ + 70x² - 100x + 48.

➥ Ditanya :

U₂₀ = …?

➥ Dijawab :

→ Faktorkan masing-masing suku yang masih berupa polinomial

• Suku pertama (U₁) :

x² - 3x + 2

⟹ (x - 1)(x - 2) …suku pertama

• Suku kedua (U₂) :

x³ - 6x² + 11x - 6

⟹ x³ - x² - 5x² + 5x + 6x - 6

⟹ x²(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)

⟹ (x - 1)[x² - 5x + 6]

⟹ (x - 1)(x - 2)(x - 3)…suku ke-2

• Suku ketiga (U₃) :

2x⁴ - 20x³ + 70x² - 100x + 48

⟹ 2x⁴ - 2x³ - 18x³ + 18x² + 52x² - 52x - 48x + 48

⟹ 2x³(x - 1) - 18x²(x - 1) + 52x(x - 1) - 48(x - 1)

⟹ (x - 1)[2x³ - 18x² + 52x - 48]

⟹ (x - 1)[2x³ - 4x² - 14x² + 28x + 24x - 48]

⟹ (x - 1)[2x²(x - 2) - 14x(x - 2) + 24(x - 2)]

⟹ (x - 1)(x - 2)[2x² - 14x + 24]

⟹ (x - 1)(x - 2)[2x² - 6x - 8x + 24]

⟹ (x - 1)(x - 2)[2x(x - 3) - 8(x - 3)]

⟹ (x - 1)(x - 2)(x - 3)(2x - 8)

⟹ 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)…suku ke-3

→ Menentukan rasio

Dari rumus diatas apabila kita terapkan ke barisan geometri pada soal, maka diperoleh :

Pada persamaan baris ke-4 rasionya adalah (x - 3) atau (2x - 8) karena nilai x yang memenuhi x = 5 maka, rasio yang dimaksud adalah 2

→ Diperoleh suku pertamadanrasiobarisan bilangan geometri yangdimaksud

• a = x² - 3x + 2 = (5)² - 3(5) + 2 = 12
• r = 2

→ Menentukan suku ke-20

∴ Jadi, diperoleh nilai suku ke-20 yaitu 6.291.456

Pelajari lebih lanjut:

• Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-3 adalah 74 dan suku ke-6 adalah 37/4. Tentukan suku pertama, rasio, dan nilai suku ke-15 : yomemimo.com/tugas/47601114
• Diketahui deret berikut 3 + 6 + 12 + 24 + … . Tentukan nilai suku ke-12 dan jumlah 12 suku pertamanya : yomemimo.com/tugas/42903637
• Dari deret geometri, diketahui jumlah suku pertama dan suku ke-2 adalah 9, sedangkan jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 adalah 72. Suku pertama deret itu adalah : yomemimo.com/tugas/41838529

_______________________________

Detail Jawaban

Mapel : Matematika

Kelas : 10

Materi : Barisan dan deret bilangan - Bab 9

Kode Kategorisasi : 10.2.9

Kata Kunci : Barisan bilangan geometri, rasio, suku pertama, menentukan nilai suku ke-20.