Pada interval 0 ≤ x ≤ 20. luas daerah yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari Muhpedrix pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pada interval 0 ≤ x ≤ 20. luas daerah yang di bawah kurva y = x² dan di atas kurva garis y = kx sama dengan luas daerah di atas kurva y = x² dan di bawah garis y = kx. Nilai k ....a) 13 1/3 b) 12 c) 11 2/3 d) 10 2/3 e) 10 1/2

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai k pada pada garis y = kx ialah $13 \frac{1}{3}$

Integral

Integral fungsi merupakan kebalikan dari turunan "antidifferensial". Integral memiliki jenis - jenis yaitu sebagai berikut:

a. Integral tak tertentu

$\boxed{\int\limits f'{(x)} \, dx = f(x) + c }$

b. Integral tertentu

$\boxed{\int\limits^b_a f'{(x)} \, dx = f(x) |^b_a = f(b) - f(a) }$

Sifat - Sifat Integral

➤ $\int\limits k.f(x) dx = k \int\limits f(x) dx$

➤ $\int\limits [f(x) \pm g(x)] dx = \int\limits f(x) dx \pm \int\limits g(x) dx$

➤ $\int\limits^b_a f(x) dx = - \int\limits^a_b f(x) dx$

➤ $\int\limits^a_a f(x) dx = 0$

➤ $\int\limits^b_a k.f(x) dx = k \int\limits^b_a f(x) dx$

➤ $\int\limits^p_a f(x) dx + \int\limits^b_p f(x) dx = \int\limits^b_a f(x) dx$

➤ $\int\limits^b_a [f(x) \pm g(x)] dx = \int\limits^b_a f(x) dx \pm \int\limits^b_a g(x) dx$

Menghitung Luas Daerah

➤ Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu, $L = \int\limits^b_a f(x) dx$

➤ Luas daerah yang dibatasi dua kurva terhadap batas sumbu x, $L = \int\limits^b_a (y_1 - y_2) dx = \int\limits^b_a [f_1(x) - f_2(x)] dx$

➤ Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu y, $L = \int\limits^d_c f(y) dy$

Menghitung Volume Benda Putar

➤ Volume benda putar terhadap sumbu x, $V = \pi \int\limits^b_a (f(x))^2 dx$

➤ Volume benda putar terhadap sumbu y, $V = \pi \int\limits^b_a (f(y))^2 dx$

➤ Volume daerah yang dibatasi dua kurva terhadap batas sumbu x, $V = \pi \int\limits^b_a (y^2_1 - y^2_2) dx$

➤ Volume daerah yang dibatasi dua kurva terhadap batas sumbu y, $V = \pi \int\limits^b_a (x^2_1 - x^2_2) dy$

Pembahasan

Pada interval 0 ≤ x ≤ 20, luas daerah yang di bawah kurva y = x² dan di atas kurva garis y = kx sama dengan luas daerah di atas kurva y = x² dan di bawah garis y = kx. Nilai k ....

Titik Potong:

x² = kx

x² - kx = 0

x (x - k) = 0

x₁ = 0 atau x₂ = k

Luas daerah terbagi menjadi dua bagian:

$\begin{gathered} L_1 = \int\limits^k_0 (kx - x^2) \: dx \\ L_2 = \int\limits^{20}_k (x^2 - kx) \: dx \end{gathered}$

Dikarenakan pada interval 0 ≤ x ≤ 20, luas daerah yang di bawah kurva y = x² dan di atas kurva garis y = kx sama dengan luas daerah di atas kurva y = x² dan di bawah garis y = kx, maka L₂ =L₁

$\begin{gathered} L_2 = L_1 \\ \int\limits^{20}_k (x^2 - kx) \: dx = \int\limits^k_0 (kx - x^2) \: dx \\ \int\limits^{20}_k (\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}kx^2) = \int\limits^k_0 (\frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{3}x^3) \\ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}kx^2 \: |^{20}_k = \frac{1}{2}kx^2 - \frac{1}{3}x^3 \: |^k_0 \\ [\frac{1}{3}(20)^3 - \frac{1}{2}k(20)^2] - [\frac{1}{3}(k)^3 - \frac{1}{2}k(k)^2] = \frac{1}{2}k(k)^2 - \frac{1}{3}(k)^3 \\ [\frac{8000}{3} - 200k] - [\frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^3] = \frac{1}{2}k^3 - \frac{1}{3}k^3 \\ [\frac{8000}{3} - 200k] + \frac{1}{6}k^3 = \frac{1}{6}k^3 \\ \frac{8000}{3} = 200k \\ 8000 = 600k \\ k = \frac{8000}{600} \\ k = \frac{80}{6} \\ k = 13 \frac{1}{3} \end{gathered}$