1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

KUISPGL yg melewati (0, 6) dan (-2, 2) = f''(x)Jika

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

KUISPGL yg melewati (0, 6) dan (-2, 2) = f''(x)
Jika 0 = f'(-3). Tentukan titik belok f(x) atau
'saddle point' dari f(x), JIKA 246 = f(6)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Titik belok f(x)adalah\bf(-3,\:3).

 

Pembahasan

Titik Stasioner Fungsi: Titik Belok

PGL yg melewati (0,\:6)dan(-2,\:2) = f''(x). Maka:

\begin{aligned}&\frac{f''(x)-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1\\&{\quad}[\:x_1=0,\:y_1=6,\:x_2=-2,\:y_2=2\:]\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(2-6)(x-0)}{-2-0}+6\\&{\qquad\qquad\!\!}=\frac{-4x}{-2}+6\\&{\therefore\ \;}f''(x)=2x+6\end{aligned}

Dapat kita perhatikan bahwa turunan kedua berderajat satu. Oleh karena itu, f(x) berderajat tiga.

Grafik fungsi y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d "berbelok" ketika turunan keduanya bernilai 0.

\begin{aligned}&&\!\!\!\!\!\!f''(x)&=0\\&\Rightarrow&0&=2x+6\\&\Rightarrow&2x&=-6\\&\therefore&x&=\bf-3\end{aligned}

⇒  Diperoleh titik belok: \bf\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)

Untuk mengetahui ordinatnya, kita perlu mencari nilai f(-3).

 

Kita tentukan f'(x) terlebih dahulu.

\begin{aligned}f'(x)&=\int{f''(x)\,dx}\\&=\int{(2x+6)\,dx}\\&=x^2+6x+C\\ [ \: x &= -3\ \Rightarrow\ f'(-3)=0 \: ]\\\Rightarrow\;0&=9-18+C\\&=-9+C\\\Rightarrow C&=9\\\therefore\ f'(x)&=x^2+6x+9\\&=(x+3)^2\end{aligned}

Jika ingin memeriksa apakah benar \bigl(-3,\:f(-3)\bigr)adalah titik belokf(x), ambil a=-4danb=-2.

\begin{aligned}\bullet\ a=-4&\Rightarrow (-4+3)^2=1 > 0\\\bullet\ b=-2&\Rightarrow (-2+3)^2=1 > 0\\\end{aligned}

Karena f(a) > 0danf(b) > 0 (sama-sama positif), maka benar bahwa \bigl(-3,\:f(-3)\bigr) adalah titik belok (saddle point).

 

Sekarang, kita tentukan f(x).

\begin{aligned}f(x)&=\int f'(x)\,dx\\&=\int\left(x^2+6x+9\right)dx\\&=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+C\\ [\:x&=6\ \Rightarrow\ f(6)=246\:]\\\Rightarrow 246&=\frac{1}{3}\cdot6^3+3\cdot36+9\cdot6+C\\&=2\cdot36+3\cdot36+54+C\\&=5\cdot36+54+C\\&=180+54+C\\&=234+C\\\Rightarrow\ \ C&=12\\\therefore f(x)&=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+12\end{aligned}

Kemudian, hitung nilai f(-3) sebagai ordinat titik belok.

\begin{aligned}f(-3)&=\frac{1}{3}\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2+9\cdot(-3)+12\\&=-(-3)^2+27-27+12\\&=-9+12\\f(-3)&=\bf3\end{aligned}
⇒  Titik belok: (-3,\:3)
\blacksquare

 

KESIMPULAN

∴  Titik belok f(x)adalah\bf(-3,\:3).

 

Titik belok [tex]f(x)[/tex] adalah [tex]\bf(-3,\:3)[/tex]. PembahasanTitik Stasioner Fungsi: Titik BelokPGL yg melewati [tex](0,\:6)[/tex] dan [tex](-2,\:2)[/tex] = [tex]f''(x)[/tex]. Maka:[tex]\begin{aligned}&\frac{f''(x)-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1\\&{\quad}[\:x_1=0,\:y_1=6,\:x_2=-2,\:y_2=2\:]\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(2-6)(x-0)}{-2-0}+6\\&{\qquad\qquad\!\!}=\frac{-4x}{-2}+6\\&{\therefore\ \;}f''(x)=2x+6\end{aligned}[/tex]Dapat kita perhatikan bahwa turunan kedua berderajat satu. Oleh karena itu, [tex]f(x)[/tex] berderajat tiga.Grafik fungsi [tex]y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 11 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>