Jawaban:

Nilai p adalah 10.

Pembahasan

Ketiga titik yaitu A, B, dan C dikatakan sebagai titik-titik yang terletak pada satu garis (kolinear). Karena terletak segaris, terdapat suatu konstanta pembanding yang membentuk hubungan ketiga titik. Kita selesaikan persoalan ini dengan dua cara.

Diketahui

Titik A(1, 2, 4)

Titik B(5, 3, 6)

Titik C(13, 5, p)

Ditanya

Nilai p

Pengerjaan

Sebelum kita mulai, ingat bahwa \boxed{~\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, dan~\overrightarrow{OC}~}

OA

,

OB

,dan

OC

merupakan vektor posisi dari titik koordinat dengan mengacu kepada titik O (origin, titik pusat koordinat).

Penyelesaian Cara Pertama

Siapkan \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

AB

=

OB

−

OA

\begin{gathered}\overrightarrow{AB} = \left[\begin{array}{ccc}5\\3\\6\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\end{array}\right]\end{gathered}

AB

=

⎣

⎢

⎡

5

3

6

⎦

⎥

⎤

−

⎣

⎢

⎡

1

2

4

⎦

⎥

⎤

\begin{gathered}\overrightarrow{AB} = \left[\begin{array}{ccc}4\\1\\2\end{array}\right]\end{gathered}

AB

=

⎣

⎢

⎡

4

1

2

⎦

⎥

⎤

Siapkan \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}

AC

=

OC

−

OA

\begin{gathered}\overrightarrow{AC} = \left[\begin{array}{ccc}13\\5\\p\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\4\end{array}\right]\end{gathered}

AC

=

⎣

⎢

⎡

13

5

p

⎦

⎥

⎤

−

⎣

⎢

⎡

1

2

4

⎦

⎥

⎤

\begin{gathered}\overrightarrow{AC} = \left[\begin{array}{ccc}12\\3\\(p-4)\end{array}\right]\end{gathered}

AC

=

⎣

⎢

⎡

12

3

(p−4)

⎦

⎥

⎤

Karena segaris, \boxed{~\overrightarrow{AB} = k~ \overrightarrow{AC}~}

AB

=k

AC

\begin{gathered}\left[\begin{array}{ccc}4\\1\\2\end{array}\right] = k~\left[\begin{array}{ccc}12\\3\\(p-4)\end{array}\right]\end{gathered}

⎣

⎢

⎡

4

1

2

⎦

⎥

⎤

=k

⎣

⎢

⎡

12

3

(p−4)

⎦

⎥

⎤

Terdapat hubungan 4 = 12k atau juga 1 = 3k, dari sini diperoleh konstanta pembanding k = \frac{1}{3}k=

3

1

Substitusikan nilai k ke dalam 2 = k (p - 4)

2 = \frac{1}{3}(p - 4)2=

3

1

(p−4)

6 = p - 4

Diperoleh nilai p = 10.

Penyelesaian Cara Kedua

Siapkan \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}

BC

=

OC

−

OB

\begin{gathered}\overrightarrow{BC} = \left[\begin{array}{ccc}13\\5\\p\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}5\\3\\6\end{array}\right]\end{gathered}

BC

=

⎣

⎢

⎡

13

5

p

⎦

⎥

⎤

−

⎣

⎢

⎡

5

3

6

⎦

⎥

⎤

\begin{gathered}\overrightarrow{BC} = \left[\begin{array}{ccc}8\\2\\(p - 6)\end{array}\right]\end{gathered}

BC

=

⎣

⎢

⎡

8

2

(p−6)

⎦

⎥

⎤

Karena segaris, \boxed{~\overrightarrow{AB} = m~ \overrightarrow{BC}~}

AB

=m

BC

\begin{gathered}\left[\begin{array}{ccc}4\\1\\2\end{array}\right] = m~\left[\begin{array}{ccc}8\\2\\(p-6)\end{array}\right]\end{gathered}

⎣

⎢

⎡

4

1

2

⎦

⎥

⎤

=m

⎣

⎢

⎡

8

2

(p−6)

⎦

⎥

⎤

Terdapat hubungan 4 = 8m atau juga 1 = 2m, dari sini diperoleh konstanta pembanding m = \frac{1}{2}m=

2

1

Substitusikan nilai m ke dalam 2 = m (p - 6)

2 = \frac{1}{2}(p - 6)2=

2

1

(p−6)

4 = p - 6

Diperoleh nilai p = 10.

Catatan: dengan prinsip vektor-vektor saling segaris, pembahasan soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan alternatif pilihan dua cara pengerjaan dan diperoleh nilai p yang sama, yakni p = 10.

Pelajari lebih lanjut

Menentukan besar salah satu sudut segitiga yang diketahui koordinat ketiga titik sudutnya yomemimo.com/tugas/10344971

Dua soal vektor yomemimo.com/tugas/12768050

-------------------------

Detil jawaban

Kelas : X

Mapel : Matematika

Bab : Vektor

Kode : 10.2.7.1

Kata Kunci : diketahui, titik A(1, 2, 4), B(5, 3, 6), C(13, 5, p), segaris, terletak, nilai, p, adalah, kolinear, bilangan pengali, konstanta, pembanding, brainly