1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Lim x-> a f(2x^3+1)-f(2a^3+1) / x^2-a^2 = -1, maka f'(3)

Berikut ini adalah pertanyaan dari adrian030904 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Lim x-> a f(2x^3+1)-f(2a^3+1) / x^2-a^2 = -1, maka f'(3) = ....​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

f'(3) = –2

 

Pembahasan

Limit dan Turunan

Diketahui:

\begin{aligned}\lim_{x\to a}\frac{f\left(2x^3+1\right)-f\left(2a^3+1\right)}{x^2-a^2}=-1\\\end{aligned}

Limit ini adalah bentuk tak tentu, karena jika disubstitusi, akan menghasilkan 0/0.

Kita gunakan aturan L’Hopital.

\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)-f\left(2a^3+1\right)\right]}{\frac{d}{dx}\left(x^2-a^2\right)}=-1\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]-\frac{d}{dx}\left[f\left(2a^3+1\right)\right]}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(a^2\right)}=-1\end{aligned}

Baik f\left(2a^3+1\right)maupuna^2adalahkonstanta, sehingga turunan pertamanya adalah 0.

\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]-0}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)-0}=-1\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]}{\frac{d}{dx}\left(x^2\right)}=-1\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]}{2x}=-1\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]}{x}\right)=-1\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]}{x}=-1\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to a}\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2x^3+1\right)\right]}{x}=-2\end{aligned}

Kemudian, kita substitusi xmenjadia.

\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\frac{\frac{d}{dx}\left[f\left(2a^3+1\right)\right]}{a}=-2\\&{\Rightarrow\ }\frac{f'\left(2a^3+1\right)}{a}=-2\\&{\Rightarrow\ }f'\left(2a^3+1\right)=-2a\\\end{aligned}

Yang ingin dicari adalah nilai f'(3). Jika f'\left(2a^3+1\right)=f'(3)sehingga2a^3+1=3, maka:

\begin{aligned}&2a^3+1=3\\&{\Rightarrow\ }2a^3=2\\&{\Rightarrow\ }a^3=1\\&{\Rightarrow\ }a=\sqrt[3]{1}=\bf1\end{aligned}

Dengan a=1, kita peroleh:

\begin{aligned}&f'(3)=-2\cdot1\\&\therefore\ \boxed{\ f'(3)=\bf{-}2\ }\end{aligned}

\blacksquare

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 12 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>