Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Keterangan:

∀x : “untuk semua x”

∈ : “elemen dari” atau “anggota dari”

______________________

Berdasarkan definisi:

P = Q  ⇔  P ⊆ Q  dan  Q ⊆ P

(Himpunan P sama dengan himpunan Q jika dan hanya jika himpunan P adalah himpunan bagian dari himpunan Q, dan himpunan Q adalah himpunan bagian dari himpunan P.)

Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa:

A ∪ (B ∪ C)  =  (A ∪ B) ∪ C

akan ditunjukkan bahwa:

A ∪ (B ∪ C)  ⊆  (A ∪ B) ∪ C, dan

(A ∪ B) ∪ C  ⊆  A ∪ (B ∪ C)

DEFINISI

Gabungan Himpunan (Union)

P ∪ Q = { ∀x | x ∈ P atau x ∈ Q }

(Gabungan himpunan P dan Q adalah himpunan yang berisi semua x, di mana x adalah anggota dari himpunan P atau himpunan Q.)

Himpunan Bagian (Subset)

P ⊆ Q = ∀x : x ∈ P ⇒ x ∈ Q

(Himpunan P adalah himpunan bagian dari himpunan Q, artinya untuk semua x, jika x adalah anggota dari himpunan P, maka x adalah anggota dari himpunan Q.)

PEMBUKTIAN

Yang ingin dibuktikan adalah:

A ∪ (B ∪ C)  ⊆  (A ∪ B) ∪ C, dan

(A ∪ B) ∪ C  ⊆  A ∪ (B ∪ C)

Berdasarkan definisi di atas, diperoleh:

∀x : x ∈ (A ∪ (B ∪ C)) ⇒ x ∈ ((A ∪ B) ∪ C), dan

∀x : x ∈ ((A ∪ B) ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∪ (B ∪ C))

Langkah Pembuktian

A ∪ (B ∪ C)  ⊆  (A ∪ B) ∪ C

≡ ∀x : x ∈ (A ∪ (B ∪ C))  ⇒  x ∈ ((A ∪ B) ∪ C)

≡ { x | x ∈ A atau x ∈ (B ∪ C) }  ⇒  { x | x ∈ (A ∪ B) atau x ∈ C }

≡ { x | x ∈ A atau (x ∈ B atau x ∈ C) }  ⇒  { x | (x ∈ A atau x ∈ B) atau x ∈ C }

..... (karena semua “operator“ penghubungnya adalah ”atau“, maka kurung dapat dilepas)

..... (ilustrasi pada penjumlahan bilangan: 1+(2+3) = 1+2+3)

≡ { x | x ∈ A atau x ∈ B atau x ∈ C }  ⇒  { x | x ∈ A atau x ∈ B atau x ∈ C }

≡ { x | (x ∈ A atau x ∈ B) atau x ∈ C }  ⇒  { x | x ∈ A atau (x ∈ B atau x ∈ C) }

≡ { x | x ∈ (A ∪ B) atau x ∈ C }  ⇒  { x | x ∈ A atau x ∈ (B ∪ C) }

≡ ∀x : x ∈ ((A ∪ B) ∪ C)  ⇒  x ∈ (A ∪ (B ∪ C))

≡ (A ∪ B) ∪ C  ⊆  A ∪ (B ∪ C)

Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa:

A ∪ (B ∪ C)  ⊆  (A ∪ B) ∪ C  ≡  (A ∪ B) ∪ C  ⊆  A ∪ (B ∪ C)

sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua pernyataan berikut ini:

A ∪ (B ∪ C)  ⊆  (A ∪ B) ∪ C, dan

(A ∪ B) ∪ C  ⊆  A ∪ (B ∪ C)

terbukti benar.

∴  Oleh karena itu, kesimpulan akhirnya adalah:

A ∪ (B ∪ C)  =  (A ∪ B) ∪ C    terbukti.

_____________________

Sebagai contoh, terdapat tiga himpunan berikut ini:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 3, 4}

C = {3, 4, 5}

A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3} ∪ ( {2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5} )

A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4, 5}

A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}

(A ∪ B) ∪ C = ( {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4} ) ∪ {3, 4, 5}

(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5}

(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}

sehingga A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C