1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1²+3²+5²+.....-(2n+1)² =(n+1) (2n+1) +(2n+3)buktikan​

Berikut ini adalah pertanyaan dari reinarrizkypej7qm pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1²+3²+5²+.....-(2n+1)² =(n+1) (2n+1) +(2n+3)
buktikan​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

KOREKSI SOAL

1^2+3^2+5^2+\dots+(2n+1)^2=\dfrac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}

untuk n bilangan cacah (n ≥ 0).

Buktikan!

_____________________

PENYELESAIAN

Pembuktian Dengan Induksi Matematika

Langkah Pertama

Untuk n = 0:

\begin{aligned}(2(0)+1)^2&=\frac{(0+1)(2(0)+1)(2(0)+3)}{3}\\1&=\frac{1\cdot1\cdot3}{3}=\frac{3}{3}\\1&=1\end{aligned}

(terbukti benar)

Langkah Kedua atau Langkah Induksi (Asumsi)

Andaikan benar untuk n = k, yaitu

1^2+3^2+5^2+\dots+(2k+1)^2=\dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} ,

maka perlu dibuktikan bahwa persamaan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu

1^2+3^2+5^2+\dots+(2k+1)^2+(2(k+1)+1)^2 \\\\ =\dfrac{\left((k+1)+1\right)\left(2(k+1)+1\right)\left(2(k+1)+3\right)}{3}

Langkah Ketiga: Pembuktian untuk n = k + 1

\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\underbrace{1^2+3^2+5^2+\dots+(2k+1)^2}_{\sf dari\ asumsi}+(2(k+1)+1)^2\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}+(2(k+1)+1)^2\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}+(2k+3)^2\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)+3(2k+3)^2}{3}\\&{=\ }\left(\frac{(k+1)(2k+1)+3(2k+3)}{3}\right)(2k+3)\\&{=\ }\left(\frac{2k^2+3k+1+6k+9}{3}\right)(2k+3)\\&{=\ }\left(\frac{2k^2+9k+10}{3}\right)(2k+3)\\&{=\ }\left(\frac{(k+2)(2k+5)}{3}\right)(2k+3)\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\frac{(k+2)(2k+3)(2k+5)}{3}\\&{=\ }\frac{\left((k+1)+1\right)(2k+2+1)(2k+2+3)}{3}\\&{=\ }\frac{\left((k+1)+1\right)\left(2(k+1)+1\right)\left(2(k+1)+3\right)}{3}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}

(terbukti benar)

KESIMPULAN

Dengan demikian, terbukti benar bahwa

1^2+3^2+5^2+\dots+(2n+1)^2=\dfrac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}

untuk n bilangan cacah (n ≥ 0).

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 31 May 22
<< Previous Post
Next Post >>