1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan nilai n jika diketahui pernyataan berikut ini a) 10

Berikut ini adalah pertanyaan dari khairullahazwar pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai n jika diketahui pernyataan berikut inia) 10 nP4 = nP5

b) nC15 = nC11 ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

a)  n = 14

b)  n = 26

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kombinatorial

Soal a

\large\text{$\begin{aligned}&\sf{}_nP_k=\frac{n!}{(n-k)!}\\\\&\sf10\cdot{}_nP_4={}_nP_5\\&\sf{\iff}\frac{10\cdot n!}{(n-4)!}=\frac{n!}{(n-5)!}\\&\sf{\iff}10\cdot n!(n-5)!=n!(n-4)!\\&\sf{\iff}10\cdot\cancel{\sf n!(n-5)!}=\cancel{\sf n!(n-5)!}(n-4)\\&\qquad.....\normalsize\textsf{ kedua ruas dibagi $\sf n!(n-5)!$}\\&\sf{\iff}10=n-4\\&{\iff}\boxed{\ \sf n=\bf14\ }\end{aligned}$}

Verifikasi

\large\text{$\begin{aligned}&\sf10\cdot{}_{14}P_4={}_{14}P_5\\&\sf{\iff}\frac{10\cdot14!}{(14-4)!}=\frac{14!}{(14-5)!}\\&\sf{\iff}\frac{10\cdot14!}{10!}=\frac{14!}{9!}\\&\sf{\iff}\frac{\cancel{\sf10}\cdot14!}{\cancel{\sf10}\cdot9!}=\frac{14!}{9!}\\&\sf{\iff}\frac{14!}{9!}=\frac{14!}{9!}\\&\sf{\iff}\textsf{(benar)}\end{aligned}$}

_____________________________

Soal b

Cara singkat

Untuk cara ini, kita gunakan identitas kombinatorial berikut ini.

\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\ \sf{}_nC_{(n-k)}={}_nC_k\ }\\\\&\textsf{Bukti:}\\&\sf{}_nC_{(n-k)}=\frac{n!}{(n-k)!\left(n-(n-k)\right)!}\\&\sf\qquad\,=\frac{n!}{(n-k)!(n-n+k)!}\\&\sf\qquad\,=\frac{n!}{(n-k)!k!}\\&\sf\qquad\,={}_nC_k\\\end{aligned}$}

Sehingga:

\large\text{$\begin{aligned}&\sf{}_nC_{15}={}_nC_{11}\\&\sf{\iff}{}_nC_{(n-15)}={}_nC_{11}\\&\sf{\iff}n-15=11\\&\sf{\iff}n=11+15\\&{\therefore\ }\boxed{\ \sf n=\bf26\ }\end{aligned}$}

Cara panjang

\large\text{$\begin{aligned}&\sf{}_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\\\&\sf{}_nC_{15}={}_nC_{11}\\&\sf{\iff}\frac{n!}{15!(n-15)!}=\frac{n!}{11!(n-11)!}\\&\sf{\iff}\cancel{n!}(11!)(n-11)!=\cancel{n!}(15!)(n-15)!\\&\qquad.....\normalsize\textsf{ kedua ruas dibagi $\sf n!$}\\&\sf{\iff}11!(n-11)!=15!(n-15)!\\&\sf{\iff}\cancel{\sf11!}(n-11)!=\cancel{\sf11!}(12\cdot13\cdot14\cdot15)(n-15)!\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\qquad.....\normalsize\textsf{ kedua ruas dibagi $\sf11!$}\\&\sf{\iff}(n-11)!=(12\cdot13\cdot14\cdot15)(n-15)!\\&\sf{\iff}\frac{(n-11)!}{(n-15)!}=12\cdot13\cdot14\cdot15\\&\sf{\iff}(n-14)(n-13)(n-12)(n-11)=12\cdot13\cdot14\cdot15\\\\&\sf x=n-14\\&\sf{\implies}\;x(x+1)(x+2)(x+3)=12(12+1)(12+2)(12+3)\\&\sf{\iff}x=12\\\\&\textsf{$\because\ \sf x=n-14$}\\&\sf{\implies}\;12=n-14\iff n=12+14\\&{\therefore\ }\boxed{\ \sf n=\bf26\ }\end{aligned}$}

Verifikasi

\large\text{$\begin{aligned}&\sf{}_{26}C_{15}={}_{26}C_{11}\\&\sf{\iff}\frac{26!}{15!(26-15)!}=\frac{26!}{11!(26-11)!}\\&\sf{\iff}\frac{26!}{15!11!}=\frac{26!}{11!15!}\\&\sf{\iff}\frac{26!}{15!11!}=\frac{26!}{15!11!}\\&\sf{\iff}\textsf{(benar)}\end{aligned}$}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 04 May 22
<< Previous Post
Next Post >>