Jawab:

Jumlah semua nilai p + q yang mungkin adalah –2.

Pembahasan

(x – p)(x – q) > 0  dan  (x + p + q)(x – pq) > 0 memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Sehingga, dapat diasumsikan bahwa:

(x – p)(x – q) = (x + p + q)(x – pq)

⇔ x² – (p + q)x + pq = x² + (p + q – pq)x – pq(p + q)

Dengan memperhatikan kesamaan koefisien-koefisien ruas kiri dan kanan, maka dapat diperoleh sistem persamaan:

(i) –(p + q) = p + q – pq

(ii) pq = –pq(p + q)

Dari persamaan (ii), dapat kita peroleh:

pq = –pq(p + q)

.... kedua ruas dibagi pq

⇔ 1 = –(p + q)

⇔ p + q = –1    .....(iii)

Substitusi (iii) → (i).

–(p + q) = p + q – pq

⇔ –(–1) = –1 – pq

⇔ pq = –1 + (–1)

⇔ pq = –2    .....(iv)

Dari persamaan (iii):

p + q = –1

⇔ q = –1 – p    .....(v)

Substitusi (v) → (iv).

pq = –2

⇔ p(–1 – p) = –2

⇔ –p – p² = –2

.... kedua ruas dikalikan –1

⇔ p + p² = 2

⇔ p² + p – 2 = 0

⇔ (p + 2)(p – 1) = 0

⇔ p + 2 = 0   atau   p – 1 = 0

⇔ p = –2   atau   p = 1

Berdasarkan persamaan (iii):

• Jika p = –2, maka q = 1  ⇒ (p, q) = (–2, 1)
• Jika p = 1, maka q = –2  ⇒ (p, q) = (1, –2)

∴  Karena kita memperoleh 2 kemungkinan pasangan nilai p dan q yang memenuhi persamaan (iii), maka jumlah semua nilai p + q yang mungkin adalah 2 × persamaan (iii), yaitu:

2 × (–1) = –2