1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika terdapat sebuah fungsi f(x) = axⁿ, buktikan bahwa f'(x)

Berikut ini adalah pertanyaan dari Gsell7881 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika terdapat sebuah fungsi f(x) = axⁿ, buktikan bahwa f'(x) = anxⁿ⁻¹ !
yuk bantuin :)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Berikut ini akan dibuktikan bahwa turunan f(x)=ax^nadalahf'(x)=anx^{n-1} berdasarkan definisi turunan.

(Kita akan menggunakan ekspansi/penjabaran polinomial.)

\begin{aligned}&f(x)=ax^n\\\\&f'(x)\\&{=\ }\lim_{h\to0}\:\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&{=\ }\lim_{h\to0}\:\frac{a(x+h)^n-ax^n}{h}\\\\&{=\ }\lim_{h\to0}\:\frac{1}{h}\left[a\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(\binom{n}{k}x^kh^{n-k}\right)}-ax^n\right]\\\\&{=\ }a\cdot\lim_{h\to0}\:\left[\frac{1}{h}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(\binom{n}{k}x^kh^{n-k}\right)}-x^n\right]\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }a\cdot\lim_{h\to0}\:\frac{1}{h}\left ( \binom{n}{0}h^n+\binom{n}{1}xh^{n-1}+{\dots}+\binom{n}{n-1}x^{n-1}h+\binom{n}{n}x^n - x^n \right )\\\\&\quad\left[\ \normalsize\text{$\begin{aligned}&\textsf{Perhatikan suku terakhir dari ekspansi $(x+h)^n$.}\\&\binom{n}{n}x^n=\frac{n!}{n!\,0!}x^n=x^n\end{aligned}$}\right.\\\\&{=\ }a\cdot\lim_{h\to0}\:\frac{1}{h}\left ( \binom{n}{0}h^n+\binom{n}{1}xh^{n-1}+{\dots}+\binom{n}{n-1}x^{n-1}h+x^n - x^n \right )\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }a\cdot\lim_{h\to0}\:\frac{1}{h}\left ( \binom{n}{0}h^n+\binom{n}{1}xh^{n-1}+{\dots}+\binom{n}{n-1}x^{n-1}h \right )\\\\&{=\ }a\cdot\lim_{h\to0}\:\left ( \binom{n}{0}h^{n-1}+\binom{n}{1}xh^{n-2}+{\dots}+\binom{n}{n-1}x^{n-1}h^0 \right )\\\\&{=\ }a\left ( \binom{n}{0}0^{n-1}+\binom{n}{1}x\cdot0^{n-2}+{\dots}+\binom{n}{n-1}x^{n-1} \right )\\\\&{=\ }a\left ( 0+0+0+0+{\dots}+\binom{n}{n-1}x^{n-1} \right )\\\\&{=\ }a\binom{n}{n-1}x^{n-1}\\\\\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }a\cdot \frac{n!}{(n-1)!\,1!}\cdot x^{n-1}\\\\&{=\ }a\cdot \frac{n\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}\cdot x^{n-1}\\\\&{=\ }anx^{n-1}\end{aligned}

TERBUKTI!

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 08 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>