Jawab:

504

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

• k² + m² – (l² + n²) = 2010
• k + l + m + n = 2010
• k, l, m, dan n adalah empat suku pertama barisan aritmatika

Ditanya:

• k = ...?

Jawab/Penyelesaian:

Karena k, l, m, dan nadalahempat suku pertama barisan aritmatika, maka:

• l = k + b
• m = k + 2b
• n = k + 3b

dengan b merupakan beda/selisih barisan aritmatika tersebut.

Sehingga:

k + l + m + n  = 2010

⇔ k + k + b + k + 2b + k + 3b = 2010

⇔ 4k + 6b = 2010   .....(i)

k² + m² – (l² + n²) = 2010

⇔ k² + m² – (l² + n²) = 2010

⇔ k² – l² + m² – n² = 2010

⇔ (k – l)(k + l) + (m – n)(m + n) = 2010

⇔ [k – (k + b)](k + k + b) + [k + 2b – (k + 3b)](k + 2b + k + 3b) = 2010

⇔ (–b)(2k + b) + (–b)(2k + 5b) = 2010

⇔ (–b)[(2k + b) + (2k + 5b)] = 2010

⇔ (–b)(4k + 6b) = 2010

Substitusi 4k + 6b dari persamaan (i):

⇔ (–b)(2010) = 2010

Kedua ruas dibagi (–2010):

⇔ b = –1    .....(ii)

Selanjutnya, nilai k dapat diperoleh dari persamaan (i).

4k + 6b = 2010

⇔ 4k = 2010 – 6b

Substitusi b dari (ii):

⇔ 4k = 2010 – 6(–1)

⇔ 4k = 2010 + 6

⇔ 4k = 2016

⇔ k = 2016/4

⇔ k = 504

∴  Dengan demikian, nilai k adalah 504.

__________________________

Tambahan:

Nilai l, m, dan n berturut-turut adalah 503, 502, dan 501.

Sehingga:

k + l + m + n = 504 + 503 + 502 + 501 = 2010

k² + m² - (l² + n²)
= 504² + 502² – (503² + 501²)
= 254.016 + 252.004 – (253.009 + 251.001)
= 506.020 – 504.010
= 2010