Diberikan fungsi piecewise sebagai berikut.[tex]f(x)=\begin{cases}\begin{array}{r}-(a-0,5)x^2+2,25,<a\\0,x=a\\x^2-(a+0,75),x>a\end{array}\end{cases}[/tex]Jika fungsi f terdefinisi pada bilangan

Berikut ini adalah pertanyaan dari EkoXlow pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diberikan fungsi piecewise sebagai berikut. $f(x)=\begin{cases}\begin{array}{r}-(a-0,5)x^2+2,25,a\end{array}\end{cases}$
Jika fungsi f terdefinisi pada bilangan real dan kontinu di a. Maka nilai dari $\displaystyle\lim_{x\to 2,5}\frac{f(x)-4}{-2x+5}$ adalah…

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to 2,5} \frac{f(x)-4}{-2x+5}}$ adalah -2,5.

PEMBAHASAN

Piecewise function atau fungsi sepotong sepotong merupakan fungsi yang ditentukan oleh beberapa sub fungsi, dimana masing masing sub fungsi memiliki aturan pemetaannya tersendiri. Contoh dari piecewise function adalah fungsi tanda mutlak. Dimana :

$|x|=\left\{\begin{matrix}-x,~x < 0\\ \\~~x,~x\geq 0\end{matrix}\right.$

Untuk mengecek kekontinuan fungsi pada titik x = a, maka fungsi harus memiliki nilai limit pada x = a. Dan nilai limit fungsi pada titik a harus sama dengan nilai fungsi pada titik a.

Suatu fungsi f(x) memiliki nilai limit pada titik c jika dan hanya jika nilai limit fungsi tersebut jika didekati dari arah kiri titik c dan arah kanan titik c memiliki nilai yang sama.

$Jika~ \lim\limits_{x \to c^-} f(x)=\lim\limits_{x \to c^+} f(x)=f(c)$

$Maka~ \lim\limits_{x \to c} =f(c)$

DIKETAHUI

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix}-(a-0,5)x^2+2,25,~x < a\\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0,~x=a\\ \\~~~~~x^2-(a+0,75),~x > a\end{matrix}\right.}$

f(x) terdefinisi di R dan kontinu di a.

DITANYA

Tentukan nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to 2,5} \frac{f(x)-4}{-2x+5} }$

PENYELESAIAN

Agar fungsi kontinu di x = a maka nilai limit di x = a dan nilai fungsi di x = a harus bernilai sama, yaitu 0.

Limit kiri.

$\displaystyle{ \lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^-} \left [ -(a-0,5)x^2+2,25 \right ] }$

$\displaystyle{0=-(a-0,5)(a)^2+2,25 }$

$\displaystyle{0=-(a^3-0,5a^2)+2,25 }$

$\displaystyle{0=-a^3+0,5a^2+2,25 }$

$\displaystyle{0=a^3-0,5a^2-2,25 }$

$\displaystyle{0=(a-1,5)(a^2+a+1,5)}$

$a-1,5=0~\to~a=1,5$

atau

$a^2+a+1,5=0~\to~tidak~mempunyai~akar~real$

Karena f terdefinisi pada R, nilai a yang memenuhi = 1,5.

Limit kanan.

$\displaystyle{ \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^+} \left [ x^2-(a+0,75) \right ] }$

$\displaystyle{ 0=\left [ (a)^2-(a+0,75) \right ] }$

$\displaystyle{ 0=a^2-a-0,75 }$

$0=(x+0,5)(x-1,5)$

$x+0,5=0~\to~x=-0,5$

Atau

$x-1,5=0~\to~x=1,5$

Pilih nilai x yang sama dari limit kiri dan kanan yaitu x = 1,5.

Kita peroleh :

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix}-x^2+2,25,~x < 1,5\\ \\~~~~~~~~~~~~~0,~x=1,5\\ \\~~x^2-2,25,~x > 1,5\end{matrix}\right.}$

Maka :

$\displaystyle{ \lim_{x \to 2,5} \frac{f(x)-4}{-2x+5}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 2,5} \frac{(x^2-2,25)-4}{-2x+5}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 2,5} \frac{x^2-6,25}{-2x+5}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 2,5} \frac{(x+2,5)(x-2,5)}{-2(x-2,5)}}$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 2,5} \frac{x+2,5}{-2}}$

$\displaystyle{=\frac{2,5+2,5}{-2}}$

$\displaystyle{=-2,5}$

KESIMPULAN

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to 2,5} \frac{f(x)-4}{-2x+5}}$ adalah-2,5.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Menentukan piecewise function kontinu atau tidak : yomemimo.com/tugas/30166028
Mencari limit piecewise function : yomemimo.com/tugas/29558741

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Fungsi

Kode Kategorisasi: 10.2.3

Kata Kunci : fungsi, piecewise, function, limit.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 05 Jun 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah