1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui jumlah tak hingga deret p + pº +p-1+p-2

Berikut ini adalah pertanyaan dari tamaasnn82 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui jumlah tak hingga deret p + pº +p-1+p-2 +p-3 + ... adalah 4p. Nilai p yang memenuhi​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui jumlah tak hingga deret \text p + \text p^0 + \text p^{-1} + \text p^{-2} + \text p ^{-3} + . . . . adalah 4p, maka nilai p yang memenuhi​ yaitu p = 0 atau p = \frac{4}{3}

Pendahuluan

Barisan geometri yaitu barisan bilangan yang  memiliki pembanding (rasio) yang tetap

Barisan geometri tersebut dapat dinyatakan sebagai  : U₁, U₂, U₃, . . .    .\text U_{\text n}

Sedangkan rumus suku ke-n barisan geometri ditentukan dengan rumus : \boxed{\text U_{\text n} = \text a~.~\text r^{\text n}^-^1}

Deret geometri yaitu jumlah dari beberapa suku berurutan yang terdapat pada barisan geometri yang memiliki rasio tetap.

Deret geometrinya dapat dinyatakan sebagai : U₁ + U₂ + U₃ +  . . .    + \text U_{\text n}

Rumus Jumlah n suku suatu Deret Geometri adalah :

\boxed{~\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(\text r^{\text n} - 1)}{(\text r - 1)}~} Untuk r > 1 atau

\boxed{~\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(1 - \text r^{\text n})}{(1 - \text r)} ~} Untuk r < 1

Pembahasan

Deret geometri tak hingga

Deret geometri tak hingga terdiri atas dua jenis, yaitu :

  1. Deret geometri mempunyai jumlah (konvergen). Jika -1 < r < 1 maka  \boxed {\text S_{\infty} = \frac{\text a}{1~-~\text r}}
  2. Deret geometri memancar (divergen). Jika r < -1 atau r > 1 maka  \boxed {\text S_{\infty} = \pm ~\infty}

Keterangan :

a = suku awal (U₁)

r = rasio (pembanding) = \frac{\text U_2}{\text U_1} = \frac{\text U_{\text n}}{\text U_{\text n ~-~ 1}}

\text U_{\text n} = suku ke-n

\text S_{\text n} = Jumlah suku ke-n

Diketahui :

Deret geometri tak hingga : \text p + \text p^0 + \text p^{-1} + \text p^{-2} + \text p ^{-3} + . . . .

\text S_{\infty} =  4p

a = p

Ditanyakan :

p = . . .    .

Jawab :

Menentukan nilai r

Untuk menentukan nilai r, digunakan rumus r = \frac{\text U_2}{\text U_1}}, maka

r = \frac{\text U_2}{\text U_1}}

⇔ r = \displaystyle {\frac{\text p^0}{\text p}}}

⇔ r = \displaystyle {\frac{1}{\text p}}}

Menentukan nilai p

Karena deret tak hingga tersebut memiliki jumlah, maka rumus jumlah tak hingganya adalah : {\text S_{\infty} = \frac{\text a}{1~-~\text r}}

{\text S_{\infty} = \frac{\text a}{1~-~\text r}}

⇔ 4p =  \displaystyle {\frac{\text p}{1~-~\frac{1}{\text p} }}

⇔ 4p = {\frac{\text p}{\text p} \times {\frac{\text p}{1~-~\frac{1}{\text p} }}}

⇔ 4p = {{\frac{\text p^2}{\text p~-~1 }}}

⇔ 4p(p - 1)         = \text p^2

⇔ 4\text p^2 - 4\text p         = \text p^2

⇔ 4\text p^2 - \text p^2 - 4\text p = 0

⇔         3\text p^2 - 4\text p = 0

⇔        \text p (3\text p - 4) = 0

Nilai p yang memenuhi :

p = 0 atau 3p - 4 = 0

p = 0 atau      3p = 4 ⇔ p = \frac{4}{3}

∴ Jadi nilai p adalah p = 0 atau p = \frac{4}{3}

Pelajari Lebih Lanjut

  1. Jumlah tak hingga deret geometri adalah 18. Jika suku pertamanya 12 maka rasio deret tersebut : yomemimo.com/tugas/5609263
  2. Jumlah dari deret geometri tak hingga 27, 9, 3, … : yomemimo.com/tugas/8577655
  3. Jumlah tak hingga deret geometri : yomemimo.com/tugas/20679328
  4. Panjang tali : yomemimo.com/tugas/94600
  5. Suku ke-5 jika U₃ = 3 dan U₆ = 24 : yomemimo.com/tugas/4508724
  6. Deret geometri : yomemimo.com/tugas/15151970
  7. Deret geometri : yomemimo.com/tugas/104749
  8. Barisan dan deret geometri : yomemimo.com/tugas/986059
  9. Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … : yomemimo.com/tugas/46742343

_________________________________________________________

Kelas          : XI - SMA  

Mapel         : Matematika

Bab             : 7 - Barisan dan Deret

Kode           : 11.2.7

Kata kunci : jumlah, deret geometri tak hingga, suku pertama, rasio

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh MisterBlank dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 07 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>