Penjelasan dengan langkah-langkah:

f(x) = axⁿ + bxⁿ⁻¹ + cxⁿ⁻² + … + k

dengan

a, b, c = koefisien

k = konstanta (suku tetap)

n = pangkat tertinggi (derajat)

Teorema sisa pada suku banyak

Jika f(x) dibagi (ax + b) maka akan bersisa f(-\frac{b}{a}−

a

b

)

Pembahasan

1. Nilai p dan q pada \frac{p}{x - 2} + \frac{q}{x + 2} = \frac{4x}{x^{2} - 4}

x−2

p

+

x+2

q

=

x

2

−4

4x

adalah …

Jawab

\frac{p}{x - 2} + \frac{q}{x + 2} = \frac{4x}{x^{2} - 4}

x−2

p

+

x+2

q

=

x

2

−4

4x

\frac{p(x + 2) + q(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4x}{x^{2} - 4}

(x−2)(x+2)

p(x+2)+q(x−2)

=

x

2

−4

4x

\frac{px + 2p + qx - 2q}{x^{2} + 2x - 2x - 4} = \frac{4x}{x^{2} - 4}

x

2

+2x−2x−4

px+2p+qx−2q

=

x

2

−4

4x

\frac{(p + q)x + 2p - 2q}{x^{2} - 4} = \frac{4x}{x^{2} - 4}

x

2

−4

(p+q)x+2p−2q

=

x

2

−4

4x

(p + q)x + 2p – 2q = 4x

(p + q)x + (2p – 2q) = 4x + 0

Jadi

Konstanta: 2p – 2q = 0 ⇒ 2p = 2q ⇒ p = q

Koefisien x: (p + q) = 4 ⇒ (q + q) = 4 ⇒ 2q = 4 ⇒ q = 2

Jadi p = 2 dan q = 2

2. Nilai suku banyak f(x) = 5x⁴ – 2x² + x – 3 untuk x = 2 adalah ….

Jawab

2 | 5 0 –2 1 –3

| 10 20 36 74

------------------------------------- +

5 10 18 37 | 71

Jadi f(2) = 71

3. Sisa pembagian f(x) = 3x⁴ + 5x³ – 11x² + 6x – 10 oleh (3x – 1) adalah …

Jawab

(3x – 1) ⇒ x = ⅓

⅓ | 3 5 –11 6 –10

| 1 2 –3 1

---------------------------------------- +

3 6 –9 3 | –9

Jadi sisa pembagiannya adalah –9

4. Hasil bagi pembagian x³ – 9x + 5 oleh x – 3 adalah ...

Jawab

(x – 3) ⇒ x = 3

3 | 1 0 –9 5

| 3 9 0

------------------------------ +

1 3 0 | 5

Hasi baginya = 1x² + 3x + 0 = x² + 3x

5. Suku banyak (x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6) dibagi oleh (x² – x – 2), sisanya sama dengan …

Jawab

(x² – x – 2) = (x – 2)(x + 1)

(x – 2) ⇒ x = 2

(x + 1) ⇒ x = –1

2 | 1 –3 –5 1 –6

| 2 –2 –14 –26

---------------------------------------- +

–1 | 1 –1 –7 –13 | –32 ⇒ S₁

| –1 2 5

---------------------------- +

1 –2 –5 | –8 ⇒ S₂

Sisa pembagiannya adalah

= S₂(x – 2) + S₁

= –8(x – 2) + (–32)

= –8x + 16 – 32

= –8x – 16

6. Jika (x² + 2x – 3) faktor dari F(x) = x⁴ + 2x³ – 7x² + ax + b, maka nilai a dan b berturut-turut adalah …

Jawab

(x² + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1)

(x + 3) ⇒ x = –3

(x – 1) ⇒ x = 1

–3 | 1 2 –7 a b

| –3 3 12 –3a – 36

--------------------------------------------------- +

1 | 1 –1 –4 a + 12 | b – 3a – 36 = 0

| 1 0 –4

----------------------------------- +

1 0 –4 | a + 8 = 0

Jadi

a + 8 = 0 ⇒ a = –8

b – 3a – 36 = 0

b = 3a + 36

b = 3(–8) + 36

b = –24 + 36

b = 12

7. Suku banyak f(x) = 3x² – 14x + a habis dibagi (x – 3). Nilai a adalah ...

Jawab

(x – 3) ⇒ x = 3

3 | 3 –14 a

| 9 –15

---------------------- +

3 –5 | a – 15 = 0

a = 15

8. Diketahui (x – 2) faktor dari f(x) = 2x³ + ax² + 7x + 6. Faktor lainnya adalah …

Jawab

(x – 2) ⇒ x = 2

2 | 2 a 7 6

| 4 2a + 8 4a + 30

----------------------------------------------- +

2 a + 4 2a + 15 | 4a + 36 = 0

4a = –36

a = –9

faktor lainnya adalah

= 2x² + (a + 4)x + (2a + 15)

= 2x² + (–9 + 4)x + (2(–9) + 15)

= 2x² + (–5)x + (–18 + 15)

= 2x² – 5x – 3

= (2x + 1)(x – 3)

Jadi faktor lainnya adalah (2x + 1) atau (x – 3)

9. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan (x – 1) sisanya 5. Suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x² – 6x + 5) sisanya adalah ….

Jawab

(x² – 6x + 5) = (x – 5)(x – 1) bersisa s(x) = (ax + b)

(x – 5) ⇒ x = 5 bersisa 13 ⇒ s(5) = 13

(x – 1) ⇒ x = 1 bersisa 5 ⇒ s(1) = 5

Substitusikan ke (ax + b)

S(5) = 5a + b = 13

S(1) = 1a + b = 5

-------------- –

4a = 8

a = 2

Substitusikan ke s(1) = 5

a + b = 5

2 + b = 5

b = 3

Jadi sisa pembagiannya adalah

= ax + b

= 2x + 3

10. Suku banyak f(x) dibagi dengan (x + 2) mempunyai sisa 14, dibagi dengan (x – 4) mempunyai sisa –4. f(x) dibagi dengan (x² – 2x – 8) mempunyai sisa …

Jawab

(x² – 2x – 8) = (x – 4)(x + 2) bersisa s(x) = (ax + b)

(x – 4) ⇒ x = 4 bersisa –4 ⇒ s(4) = –4

(x + 2) ⇒ x = –2 bersisa 14 ⇒ s(–2) = 14

Substitusikan ke (ax + b)

S(4) = 4a + b = –4

S(–2) = –2a + b = 14

------------------- –

6a = –18

a = –3

Substitusikan ke s(–2) = 14

–2a + b = 14

b = 2a + 14

b = 2(–3) + 14

b = –6 + 14

b = 8

Jadi sisa pembagiannya adalah

= ax + b

= –3x + 8