Pada interval 0≤x≤20 luas daerah di bawah kurva y=x2 dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari deriindira9561 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pada interval 0≤x≤20 luas daerah di bawah kurva y=x2 dan di atas garis y=kx sama dengan luas daerah di atas kurva y=x2 dan di bawah garis y=kx. nilai k = .....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai k = 40/3.

Pembahasan

Integral: Luas Daerah Antara Dua Grafik Fungsi

Luas daerah di antara dua grafik fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ , di mana grafik $f(x)$ berada di atas $g(x)$ , pada interval $a \le x \le b$ dinyatakan oleh:

$\displaystyle L=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)\,dx$

Pada interval $0 \le x \le 20$ , luas di bawah kurva $y=x^2$ dan di atas garis $y=kx$ dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}{\bf L}_1=\int_0^{20}\left(x^2-kx\right)dx\end{aligned}$

Sedangkan luas di atas kurva $y=x^2$ dan di bawah garis $y=kx$ pada interval yang sama dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}{\bf L}_2&=\int_0^{20}\left(kx-x^2\right)dx\\&=\int_0^{20}-\left(x^2-kx\right)dx\\&=-\int_0^{20}\left(x^2-kx\right)dx\\{\bf L}_2&=-{\bf L}_1\end{aligned}$

Sehingga, penyelesaian kesamaan luas kedua daerah tersebut adalah:

$\begin{aligned}&{\bf L}_1={\bf L}_2\\\Rightarrow\ &{\bf L}_1=-{\bf L}_1\\\Rightarrow\ &{\bf L}_1+{\bf L}_1=0\\\Rightarrow\ &2{\bf L}_1=0\\\Rightarrow\ &{\bf L}_1=0\\\Rightarrow\ &\int_0^{20}\left(x^2-kx\right)dx=0\\\Rightarrow\ &\int_0^{20}x^2\,dx-\int_0^{20}kx\,dx=0\\\Rightarrow\ &\int_0^{20}x^2\,dx=\int_0^{20}kx\,dx\\\Rightarrow\ &\int_0^{20}x^2\,dx=k\cdot\!\!\int_0^{20}x\,dx\\\Rightarrow\ &\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{20}=k\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{20}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\Rightarrow\ &\frac{20^3}{3}-0=k\cdot\frac{20^2}{2}-0\\\Rightarrow\ &\frac{20^3}{3}=k\cdot\frac{20^2}{2}\\&...\ \textsf{kedua ruas dibagi }20^2\\\Rightarrow\ &\frac{20}{3}=k\cdot\frac{1}{2}\\\Rightarrow\ &k=\frac{2\cdot20}{3}=\boxed{\ \bf\frac{40}{3}\ }\\\blacksquare\end{aligned}$