Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Barisan Geometri dan Barisan Aritmatika Bertingkat

Soal a

Barisan 81, 27, 9, 3, ... adalah barisan geometri.

Sehingga diperoleh rasio = r = 1/3.

Suku ke-n barisan ini adalah:

________________________

Soal b

Barisan –2, 1, 6, 13, ... adalah barisan aritmatika ​​bertingkat dua, dengan rumus umum:

Un = an² + bn + c

Beda antara U1 dan U2:

beda = U2 – U1 = 1 – (–2) = 3

Beda antara U2 dan U3:

beda = U3 – U2 = 6 – 1 = 5

Beda antara U3 dan U4:

beda = U4 – U3 = 13 – 6 = 7

Sehingga, diperoleh barisan “beda”nya (Bn), yaitu:

3, 5, 7, ...

Beda antara B1 dan B2:

beda2 = B2 – B1 = 5 – 3 = 2

Beda antara B2 dan B3:

beda2 = B3 – B2 = 7 – 5 = 2

Dari rumus an² + bn + c, dapat diperoleh:

U1 = a + b + c

U2 = 4a + 2b + c

U3 = 9a + 3b + c

U4 = 16a + 4b + c

B1 = U2 – U1

     = 4a + 2b + c – (a + b + c)

     = 4a + 2b + c – a – b – c

     = 3a + b

B2 = U3 – U2

     = 9a + 3b + c – (4a + 2b + c)

     = 9a + 3b + c – 4a – 2b – c

     = 5a + b

B3 = U4 – U3

     = 16a + 4b + c – (9a + 3b + c)

     = 16a + 4b + c – 9a – 3b – c

     = 7a + b

Antara B1, B2, dan B3, bedanya tetap, yaitu:

5a + b – (3a + b) = 2a

7a + b – (5a + b) = 2a

Sehingga:

2a = 2

⇔ a = 1

Kita sudah peroleh bahwa B1 = 3, sehingga:

3a + b = 3

⇔ 3×1 + b = 3

⇔ 3 + b = 3

⇔ b = 0

Telah kita peroleh pula bahwa U1 = a + b + c. Maka:

a + b + c = –2

⇔ 1 + 0 + c = –2

⇔ c = –2 – 1

⇔ c = –3

Substitusi nilai a, b, dan c pada rumus umum:

Un = an² + bn + c

⇔ Un = n²  – 3

Kita periksa dulu apakah rumus suku ke-n tersebut benar.

U1 = 1² – 3 = –2  (benar)

U2 = 2² – 3 = 1  (benar)

U3 = 3² – 3 = 6  (benar)

U4 = 4² – 3 = 13  (benar)

∴  Dengan demikian, rumus suku ke-n untuk barisan –2, 1, 6, 13, ... adalah:

Un = n² – 3