1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Bantu jawab turunan kak Robot pembersih kaca gedung pencakar langit yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari Mammooyy pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bantu jawab turunan kakRobot pembersih kaca gedung pencakar langit yang bergerak secara otomatis dengan persamaan lintasan robot f(\alpha ) = \frac{V0 cos^{2} (8\alpha ) }{g} dengan kecepatan mula-mula Vo, percepatan gravitasi g. Robot mencapai posisi tertinggi saat = ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

α sama dengan 22,5° atau kelipatannya.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Robot bergerak pada lintasan menurut fungsi:

\large\text{$\begin{aligned}&f(\alpha)=\frac{V_0\cos^{2}(8\alpha)}{g}\\&\textsf{\quad $V_0:$ kecepatan awal}\\&\textsf{\quad $g\;\,:$ percepatan gravitasi} \end{aligned}$}

Robot mencapai posisi tertinggi atau terendah pada saat fungsi mencapai nilai/titik stasioner. Untuk posisi tertinggi, fungsi bernilai maksimum. Sebaliknya, fungsi bernilai minimum berarti robot mencapai posisi terendah.

\large\text{$\begin{aligned}&&0&=f'(\alpha)\\\\&&0&=\frac{d}{d\alpha}\left[\frac{V_0\cos^{2}(8\alpha)}{g}\right]\\\\&&&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{$V_0$ dan $g$ adalah konstanta,}\\&\textsf{sehingga dapat dikeluarkan}\\&\textsf{menjadi pengali turunan.}\end{aligned}\right.\\\\&&0&=\left(\frac{V_0}{g}\right)\frac{d}{d\alpha}\left[\frac{\cos^{2}(8\alpha)}{1}\right]\\\\&&0&=\left(\frac{V_0}{g}\right)\frac{d}{d\alpha}\:\cos^{2}(8\alpha)\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&&&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri bernilai 0.}\\&\textsf{Maka, berapapun nilai $\frac{V_0}{g}\ ,$}\\&\textsf{$\frac{d}{d\alpha}\:\cos^{2}(8\alpha)$ harus bernilai $0$.}\\\end{aligned}\right.\\\\&&0&=\frac{d}{d\alpha}\:\cos^{2}(8\alpha)\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&&&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{Terapkan aturan rantai.}\\&g=u^2\,,\ u=\cos(v)\,,\ v=8\alpha\\&\frac{dg(u)}{d\alpha}=\frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{d\alpha}\\&{\qquad\ \;}=2u\cdot(-\sin(v))\cdot8\\&{\qquad\ \;}=2\cos(v)\cdot(-8\sin(v))\\&{\qquad\ \;}=-16\cos(8\alpha)\sin(8\alpha)\\&{\qquad\ \;}=-16\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)\end{aligned}\right.\\\\&&0&=-16\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)\\\\&&0&=\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)\\\\\end{aligned}$}

Untuk memudahkan, cukup sampai di sini saja. Jika diteruskan, kita akan memperoleh:

sin(16α) = 0

Jadi, dari penyelesaian terakhir (i), titik stasioner dicapai ketika:

sin(8α)cos(8α) = 0

Persamaan ini akan terpenuhi ketika:

sin(8α) = 0  atau  cos(8α) = 0    .....(ii)

Perhatikan f(α) yang memuat cos²(8α).

Kita tahu bahwa nilai maksimum cosinus adalah 1, dan nilai minimumnya adalah –1. Namun, karena nilai yang dicari pada f(α) adalah kuadrat dari cosinus, maka bisa dianggap sebagai nilai mutlak, karena | –1 | = 1, sehingga nilai cosinus --1 tetap akan membuat f(α) bernilai maksimum.

Kita tahu pula bahwa nilai cosinus 1 atau –1 akan dicapai ketika nilai sinusnya sama dengan 0. Sehingga, dari penyelesaian (ii), yang dapat kita ambil untuk mencapai nilai maksimum f(α) adalah:

sin(8α) = 0

Solusi umumnya adalah:

8α = 0 + (360n)°   atau   8α = 180° + (360n)°

⇔ α = 0 + (45n)°   atau   α = 22,5° + (45n)°

⇔ {45°, 90°, 135°, 180°, ...} ∪ {22,5°, 67,5°, 112,5°, 157,5°, ...}

⇔ {22,5°, 45°, 67,5°, 90°, 112,5°, 135°, 157,5°, 180°, ...}

⇔ { α | α = (22,5n)°, n ∈ bilangan asli }

∴ Dalam kalimat yang lebih sederhana, dapat disimpulkan bahwa robot mencapai posisi tertinggi saat

α sama dengan 22,5° atau kelipatannya.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 17 May 22
<< Previous Post
Next Post >>