Jawab:

Luas daerah yang diarsir adalah 28 cm².

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Lingkaran dan Bagian-Bagiannya

Pada penyelesaian ini, lingkaran 1 menyatakan lingkaran yang lebih besar, dan lingkaran 2 menyatakan lingkaran yang lebih kecil.

Daerah yang diarsir adalah ¼ lingkaran besar yang dikurangi gabungan dari 2 bangun ½ lingkaran kecil yang saling “beririsan“. Daerah irisan tersebut merupakan gabungan dari 2 tembereng lingkaran kecil, dengan besar sudut pusat 90° (sudut siku-siku).

Oleh karena itu, luas bangun yang tidak diarsir adalah:

L₂ = (2 × luas ½ lingkaran kecil) – (2 × luas tembereng 90°)

⇔ L₂ = 2 × (luas ½ lingkaran kecil – luas tembereng 90°)

Luas tembereng 90° = luas juring 90° – luas Δ 90°

⇔ L₂ = 2 × [ luas ½ lingkaran kecil – (luas juring 90° – luas Δ 90°) ]

⇔ L₂ = 2 × ( luas ½ lingkaran kecil – luas juring 90° + luas Δ 90° )

Juring dengan sudut pusat sebesar 90° tidak lain adalah ¼ lingkaran.

Maka: luas ½ lingkaran kecil = 2 × luas juring 90°.

Sehingga: luas ½ lingkaran kecil – luas juring 90° = luas juring 90°.

⇔ L₂ = 2 × (luas juring 90° + luas Δ 90°)

Segitiga dalam lingkaran dengan besar sudut 90° adalah segitiga siku-siku dengan panjang alas dan tingginya sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

Dengan rumus LΔ = ½r²·sin 90° pun akan menghasilkan nilai yang sama dengan LΔ = ½at = ½r², karena sin 90° = 1.

⇔ L₂ = 2 × (¼·π·r₂² + ½·r₂²)

⇔ L₂ = ½·π·r₂² + r₂²

⇔ L₂ = r₂² (½·π + 1)

π = 22/7   ⇔   ½π = 11/7

⇔ L₂ = r₂² [ (11/7) + 1 ]

⇔ L₂ = r₂² (18/7)

⇔ L₂ = (18/7)r₂²

Dari gambar, dapat kita tentukan bahwa:

• Panjang jari-jari lingkaran besar: r = 14 cm
• Panjang diameter lingkaran kecil: d₂ = r, maka r₂ = ½r.

Sehingga:

L₂ = (18/7)·(½·r)²

⇔ L₂ = (18/7)·(¼r²)

⇔ L₂ = (18/28)r²

Luas ¼ lingkaran besar adalah:

L₁ = ¼πr² = ¼(22/7)r² = (22/28)r²

Maka, luas daerah yang diarsir adalah:

L = L₁ – L₂

⇔ L = (22/28)r² – (18/28)r²

⇔ L = (4/28)r²

⇔ L = (1/7)r²

Substitusi nilai r = 14 cm

⇔ L = [ (1/7) × 14² ] cm²

⇔ L = [ (1/7) × 14 × 14 ] cm²

⇔ L = (2 × 14) cm²

⇔ L = 28 cm²

∴  Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah:

28 cm²