Jawaban:

Diketahui

Kurva fungsi kuadrat y = 2 - x²

Garis y = x

Ditanya

Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva.

Proses

Hal-hal yang diperlukan dalam pengerjaan soal ini adalah sebagai berikut:

menggambar kurva fungsi kuadrat,

mengetahui batas-batas daerah yang akan dihitung luasnya, dan

mengetahui daerah yang berada di bawah kurva.

Step-1: menentukan sifat kurva pada koordinat kartesius

Kurva y = 2 - x² adalah fungsi kuadrat atau parabola

Karena koefisien x² negatif, kurva terbuka ke bawah.

Memotong sumbu y di (0, 2).

Sumbu simetrinya adalah sumbu y atau x = 0.

Memotong sumbu x di dua titik karena D > 0.

Persamaan garis y = x

Memiliki gradien m = 1, miring ke kanan.

Melalui pusat koordinat (0, 0).

Step-2: menentukan absis titik-titik potong kedua kurva

y₁ = y₂

2 - x² = x

x² + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0 ⇒ x = -2 dan x = 1

Jadi batas kiri dan batas kanan kedua kurva adalah -2 dan 1.

Step-3: hitung luas daerah

Pada grafik, y = 2 - x² berada di atas y = x.

\boxed{ \ L = \int\limits^1_{-2} {(2 - x^2) - (x)} \, dx \ }

L=

−2

∫

1

(2−x

2

)−(x)dx

\boxed{ \ L = \int\limits^1_{-2} {(2 - x - x^2) } \, dx \ }

L=

−2

∫

1

(2−x−x

2

)dx

\boxed{ \ L = \Big[2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \Big] - \Big[-4 - \frac{4}{2} + \frac{8}{3} \Big] \ }

L=[2−

2

1

−

3

1

]−[−4−

2

4

+

3

8

]

\boxed{ \ L = 2+4 - \frac{1}{2}+\frac{4}{2} - \frac{1}{3} - \frac{8}{3} \ }

L=2+4−

2

1

+

2

4

−

3

1

−

3

8

\boxed{ \ L = 6 +\frac{3}{2} - 3 \ }

L=6+

2

3

−3

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah \boxed{ \ L = 4\frac{1}{2} \ }

L=4

2

1

satuan luas.

______________

Alternatif Khusus

\boxed{ \ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} \ }

L=

6a

2

D

D

Siapkan persamaan kuadrat gabungan dari kedua kurva,

y₁ = y₂

2 - x² = x

x² + x - 2 = 0

D = b² - 4ac

D = (1)² - 4(1)(-2)

D = 9

\boxed{ \ L = \frac{9 \cdot \sqrt{9}}{6(1)^2} \ }

L=

6(1)

2

9⋅

9

\rightarrow \boxed{ \ L = \frac{9}{6} \ }→

L=

6

9

Diperoleh hasil yang sama, luas daerah yang dibatasi kurva adalah \boxed{ \ L = 4\frac{1}{2} \ }

L=4

2

1

satuan luas.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

maaf jika salah ;)