Misalkan f(x) = a²x + 200. Jika f(20) + f-¹(22)

Berikut ini adalah pertanyaan dari fsyahnardi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Misalkan f(x) = a²x + 200. Jika f(20) + f-¹(22) = f-¹(20) + f(22) maka f(1) =

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Ada dua kemungkinan nilai $f(1)$ , yaitu 201atau199.

Pembahasan

Invers Fungsi

Diketahui

$\begin{aligned}\bullet\ &f(x) = a^2x + 200\\\bullet\ &f(20) + f^{-1}(22) = f^{-1}(20) + f(22)\end{aligned}$

Ditanyakan

$f(1)={\dots}?$

PENYELESAIAN

Dari $f(x)$ , kita tentukan inversnya terlebih dahulu.

$\begin{aligned}f(x)=y&=a^2x+200\\x&=\frac{y-200}{a^2}\\\therefore\ f^{-1}(x)&=\frac{x-200}{a^2}\end{aligned}$

Kemudian, cari nilai $a$ .

$\begin{aligned}&f(20)+f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)\\&{\Rightarrow\ }20a^2+\cancel{200}+\frac{22-200}{a^2}=\frac{20-200}{a^2}+22a^2+\cancel{200}\\&{\quad}\textsf{... kedua ruas dikurangi }200\\&{\Rightarrow\ }20a^2+\frac{22-200}{a^2}=\frac{20-200}{a^2}+22a^2\\&{\Rightarrow\ }\frac{22-200}{a^2}-\frac{20-200}{a^2}=22a^2-20a^2\\&{\Rightarrow\ }\frac{22-200-(20-200)}{a^2}=2a^2\\&{\Rightarrow\ }\frac{2}{a^2}=2a^2\\&{\Rightarrow\ }2=2a^4\\&{\Rightarrow\ }1=a^4\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\left(a^2\right)^2=1\\&{\Rightarrow\ }\left(a^2\right)^2=\left(\pm1\right)^2\\&{\Rightarrow\ }\begin{cases}a^2=1\\\Rightarrow a={\bf1}{\ \sf atau\ }a=\bf-1\\\\a^2=-1\\\Rightarrow a=i{\ \sf atau\ }a=-i\\\end{cases}\\&{\qquad}{\sf dengan\ }i=\sqrt{-1},\ i\ {\sf bilangan\ imajiner}\end{aligned}$

Jadi, ada 2 kemungkinannilai $a^2$ , yaitu 1atau–1.

Oleh karena itu, $f(x) = x + 200$ atau $f(x) = -x + 200$ .

Sebelum menentukan nilai yang ditanyakan, yaitu $f(1)$ , kita periksa dulu apakah kedua alternatif fungsi di atas memenuhi persamaan yang diketahui.

Untuk $f(x) = x+200$ , $f^{-1}(x) = x-200$ .
$\begin{aligned}&f(20)+f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)\\&\Rightarrow (20+200)+(22-200)=(20-200)+(22+200)\\&\Rightarrow 20+22+200-200=20+22-200+200\\&\Rightarrow 42=42\implies\sf BENAR\end{aligned}$

Untuk $f(x) = -x+200$ , $f^{-1}(x) = -x+200$ .
Karena $f(x) = f^{-1}(x)$ , maka $f(20)+f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)$ sudah pasti benar, karena $f(20) = f^{-1}(20)$ , dan $f^{-1}(22) = f(22)$ .