Jawaban:

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 3x + 4 dan y = 1 – x adalah 4/3 satuan luas. Hasil tersebut diperoleh dengan menggunakan integral tentu. Integral adalah anti turunan atau lawan dari turunan. Bentuk umum integral tak tentu adalah ∫ f’(x) dx = f(x) + C. Rumus dasar Integral:

∫ kxⁿ dx = \frac{k}{n + 1} x^{n + 1}n+1kxn+1 + C, dengan n ≠ –1

Rumus Integral Tentu

ₐ∫ᵇ f’(x) dx = f(x) ₐ|ᵇ = f(b) – f(a)

Untuk menentukan luas daerah kurva, bisa menggunakan integral tentu

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) di atas sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b adalah

L = ₐ∫ᵇ f(x) dx

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) di bawah sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b adalah

L = ₐ∫ᵇ –f(x) dx

Luas daerah yang dibatasi dua kurva

l = ₐ∫ᵇ f(x) – g(x) dx

dengan

f(x) = kurva atas

g(x) = kurva bawah

Pembahasan

Untuk menentukan daerah yang dicari luasnya, kita gambar masing-masing dari kurva

Gambar y = x² + 3x + 4

Karena a > 0, maka kurva terbuka ke atas

Karena D < 0, maka tidak memotong sumbu x

Memotong sumbu y (x = 0) di titik (0, 4)

Gambar y = 1 – x

Memotong sumbu x (y = 0) di titik (1, 0)

Memotong sumbu y (x = 0) di titik (0, 1)

Titik potong kurva dengan garis

y = y

x² + 3x + 4 = 1 – x

x² + 4x + 3 = 0

(x + 3)(x + 1) = 0

x = –3 atau x = –1  

Gambar bisa dilihat di lampiran

Kurva atasnya: y = 1 – x

Kurva bawah: y = x² + 3x + 4

Batas integral: x = –3 atau x = –1

Jadi luas daerah tersebut adalah

= ₋₃∫⁻¹ (1 – x) – (x² + 3x + 4) dx

= ₋₃∫⁻¹ (–x² – 4x – 3) dx

= (–⅓ x³ – 2x² – 3x) ₋₃|⁻¹

= [–⅓ (–1)³ – 2(–1)² – 3(–1)] – [–⅓ (–3)³ – 2(–3)² – 3(–3)]

= [⅓ – 2 + 3] – [9 – 18 + 9]

= [⅓ + 1] – [0]

= 1 ⅓ satuan luas

= 4/3 satuan luas