Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=4x+3/x+1 ? Tolong pakai cara!

Berikut ini adalah pertanyaan dari IcaaaSR pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)=4x+3/x+1 ?
Tolong pakai cara!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Turunan pertama dari fungsi f(x) = $\rm \frac{4x \: + \: 3}{x\:+ \:1}$ adalah $\sf f'(x) = \frac{1}{x^{2} \: + \: 2x \: + \: 1}$ atau $\sf f'(x) = \frac{1}{(x\: + \:1)^{2}}$ .

Pendahuluan

Definisi dari turunan fungsi aljabar adalah bentuk dari fungsi lain yang berasal dari fungsi sebelumnya, notasi pada turunan ditulis dengan $\boxed{\rm{f'}}$ yang dimana nilai tersebut tidak tentu atau tidak beraturan.

Turunan atau disebut juga derivatif adalah konsep dalam mempelajari materi kalkulus yang dimana memuat perhitungannya mengalami perubahan tertentu seiring dalam memasukkan nilai fungsi ataupun nilai input.

Rumus umum dari turunan fungsi aljabar ditulis sebagai berikut:

$\boxed{ \rm \: f ' (x) = lim_{x \: \to \: 0} \: \frac{f(x + h) - f(x)}{h} }$

Dengan catatan bahwa kita menggunakan rumus tersebut jika nilai limit tersebut ada.

Keterangan:

• $\rm f'(x)$ dibaca sebagai f aksen x yang disebut dengan turunan.

• Proses dalam menentukan/menemukan turunan ( $\rm f'(x)$ ) dari fungsi f(x) merupakan bentuk operasi hitung diferensial atau disebut dengan penurunan.

Konsep turunan fungsi aljabar sebagai berikut:

$\small \begin{gathered}\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{cc}\underline{\bold{Rumus\: Turunan\:Fungsi\:Aljabar}}\\\\\ \: \rm f(x) = m \: \Leftrightarrow \: f'(x) = 0 \\\\ \: \rm f(x) = x \:\Leftrightarrow \: f'(x) = 1 \\\\ \: \rm f(x) = xⁿ \: \Leftrightarrow \:f'(x) = n\:.\: x^{n - 1} \\\\ \: \rm f(x) = axⁿ \: \Leftrightarrow \:f'(x) = an\:. \:x^{n - 1} \\\\ \: \rm f(x) = m u(x)\: \Leftrightarrow \: f'(x) = m\:u'(x), dimana \: m\:adalah\: konstanta \\\\ \: \rm f(x) = u(x) \: \pm \: v(x) \:\Leftrightarrow \: f'(x) = u'(x) \:\pm\: v'(x)\\\\ \: \rm f(x) = u(x) . v(x) \: \Leftrightarrow \: f'(x) = u'(x) . v(x) + u(x) . v'(x) \\\\ \: \rm f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} , \: v(x)\: \cancel{=} \:0 \: \Leftrightarrow \: f'(x) = \frac{u'v \: - \: v'u }{v^{2}} \\\\ \: \end{array}}\end{gathered}\end{gathered}$

Konsep turunan fungsi trigonometri sebagai berikut:

$\small \begin{gathered}\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{cc}\underline{\bold{Rumus\: Turunan\:Fungsi\: Trigonometri}}\\\\\ \: \rm f(x) = sin\: x \: \Leftrightarrow \: f'(x) = cos \: x \\\\ \: \rm f(x) = cos \: x \: \Leftrightarrow \: f'(x) = -\:sin \:x \\\\ \: \rm f(x) = tan \: x \: \Leftrightarrow \: f'(x) = sec^{2}\:x \\\\ \: \rm f(x) = cot \: x \; \Leftrightarrow \: f'(x) = -\:cosec^{2} \:x \\\\ \: \rm f(x) = sec \: x \: \Leftrightarrow \: f'(x) = sec\:x \: . \:tan\:x \\\\ \: \rm f(x) = cosec \: x \: \Leftrightarrow \: f'(x) = -\: cosec \:x\: . \: cot\: x \\\\ \: \end{array}}\end{gathered}\end{gathered}$

Pembahasan

Diketahui:

Fungsi f(x) adalah f(x) = $\rm \frac{4x + 3}{x + 1}$

Ditanyakan:

Turunan pertama dari fungsi adalah...?

Jawab:

f(x) = $\rm \frac{4x + 3}{x + 1}$

Kita misalkan sebagai berikut:

u = 4x + 3 → u' = $\rm 4x^{1 - 1} + 0 = 4x^{0} = 4(1) = 4$

v = x + 1 → v' = $\rm x^{1 - 1} + 0 = x^{0} = 1$

Dalam menentukan turunan pertama tersebut menggunakan rumus sebagai berikut:

Jika f(x) = $\rm \frac{u(x)}{v(x)} , \: v(x)\: \cancel{=} \:0 \: \Leftrightarrow \: \rm f'(x) = \frac{u'v \: - \: v'u }{v^{2}}$ .

Maka:

$\rm f'(x) = \frac{u'v \: - \: v'u }{v^{2}}$

$\rm f'(x) = \frac{4(x + 1) - 1(4x + 3)}{(x + 1)^{2}}$

$\rm f'(x) = \frac{(4x + 4 - 4x - 3)}{x^{2} + 2x + 1}$

$\rm f'(x) = \frac{1}{x^{2}\: + \:2x \:+ \:1}$ atau $\rm f'(x) = \frac{1}{(x \:+ \:1)^{2}}$

Kesimpulan

Berdasarkan perhitungan diatas bahwa turunan pertama dari fungsi f(x) = $\rm \frac{4x\: +\: 3}{x\: + \:1}$ tersebut adalah $\rm f'(x) = \frac{1}{x^{2} \: + \: 2x \:+ \:1}$ atau $\rm f'(x) = \frac{1}{(x\: + \:1)^{2}}$ .