Tolong dijawab dengan menggunakan cara yang cepat atau mudah dipahami

Berikut ini adalah pertanyaan dari andreakhmadi4 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1.a. Fungsi $f^{-1}(x)$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{3x+1}{x-1}} }$ .

1.b. Hasil dari $(fof^{-1})(x)~dan~(f^{-1}of)(x)$ adalahx.

2.a. Fungsi $f^{-1}(x)$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{x-5}{2}}}$ dan fungsi $g^{-1}(x)$ adalah4 - x.

2.b. Fungsi $(fog)^{-1}(x)$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{13-x}{2}}}$ .

2.c. Fungsi $(g^{-1}of^{-1})(x)$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{13-x}{2} }}$ .

PEMBAHASAN

Fungsi komposisi merupakan fungsi baru yang diperoleh dari hasil menggabungkan dua buah fungsi yang berbeda. Fungsi (fog)(x) berarti memasukkan/mensubstitusi fungsi g(x) ke dalam fungsi f(x).

$(fog)(x)=f(g(x))$

$(gof)(x)=g(f(x))$

Sedangkan fungsi invers adalah fungsi kebalikan dari fungsi asalnya. Fungsi invers ditulis sebagai berikut:

$f(x)=y~\to~x=f^{-1}(y)$

Pangkat -1 merupakan lambang dari invers.

DIKETAHUI

1. $\displaystyle{f(x)=\frac{x+1}{x-3}}$

2. $f(x)=2x+5,~g(x)=4-x$

DITANYA

1.a. Tentukan $f^{-1}(x)$

1.b. Tentukan $(fof^{-1})(x)~dan~(f^{-1}of)(x)$

2.a. $f^{-1}(x)~dan~g^{-1}(x)$

2.b. $(fog)^{-1}(x)$

2.c. $(g^{-1}of^{-1})(x)$

PENYELESAIAN

Soal 1.

Soal a.

Misal :

$\displaystyle{y=\frac{x+1}{x-3}}$

$\displaystyle{y(x-3)=x+1 }$

$\displaystyle{yx-3y=x+1 }$

$\displaystyle{yx-x=3y+1 }$

$\displaystyle{x(y-1)=3y+1 }$

$\displaystyle{x=\frac{3y+1}{y-1},~substitusi~x=y }$

$\displaystyle{y=\frac{3x+1}{x-1} }$

Diperoleh :

$\displaystyle{f^{-1}(x)=y }$

$\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-1} }$

Soal b.

$(fof^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))$

$\displaystyle{(fof^{-1})(x)=f\left ( \frac{3x+1}{x-1} \right ) }$

$\displaystyle{(fof^{-1})(x)=\frac{\left ( \frac{3x+1}{x-1} \right )+1}{\left ( \frac{3x+1}{x-1} \right )-3} }$

$\displaystyle{(fof^{-1})(x)=\frac{\frac{3x+1+x-1}{\cancel{x-1}}}{\frac{3x+1-3(x-1)}{\cancel{x-1}}} }$

$\displaystyle{(fof^{-1})(x)=\frac{3x+1+x-1}{3x+1-3(x-1)} }$

$\displaystyle{(fof^{-1})(x)=\frac{4x}{4} }$

$\displaystyle{(fof^{-1})(x)=x }$

$(f^{-1}of)(x)=f^{-1}(f(x))$

$\displaystyle{(f^{-1}of)(x)=f^{-1}\left ( \frac{x+1}{x-3} \right ) }$

$\displaystyle{(f^{-1}of)(x)=\frac{3\left ( \frac{x+1}{x-3} \right )+1}{\left ( \frac{x+1}{x-3} \right )-1} }$

$\displaystyle{(f^{-1}of)(x)=\frac{\frac{3x+3+x-3}{\cancel{x-3}}}{\frac{x+1-(x-3)}{\cancel{x-3}}} }$

$\displaystyle{(f^{-1}of)(x)=\frac{4x}{4} }$

$\displaystyle{(f^{-1}of)(x)=x }$

Dapat disimpulkan bahwa $(fof^{-1})(x)=(f^{-1}of)(x)=x$ . Atau hasil komposisi dari fungsi invers terhadap fungsi awalnya atau kebalikannya akan menghasilkan fungsi indentitas x.